Demostrar que la función es continua en$[-1,1]$

Question

$f(x)=\mid{x}\mid$

Dejar$a\in(-1,1)$

$\mid f(x)-f(a)\mid=\mid\mid x\mid-\mid a\mid\mid\leq\mid x-a\mid$

Dejar$\epsilon>0$dar y definir$\delta=\epsilon$, cuando sea$\mid x-a\mid<\delta,\space \mid f(x)-f(a)\mid<\epsilon.$

$\therefore f(x)$es continua en el intervalo$(-1,1)$

También,$\lim_{x\to-1^+}f(x)=1=\lim_{x\to-1}f(x)$y$\lim_{x\to1^-}f(x)=1=\lim_{x\to1}f(x)$

$\therefore f(x) $es continua en el lado derecho de$-1$y en el lado izquierdo de$1$.

Así, concluimos que$f(x)=\mid x\mid$es continua en el intervalo$[-1,1]$.

¿Es correcta mi prueba?

Answer 1

Tu prueba parece correcta. Diría que debe incluir palabras en la prueba para explicar lo que se está haciendo.

De hecho, puede probar algo un poco más general. Dejar$I \subseteq \mathbb{R}$Sea un intervalo tal que$f: I \to \mathbb{R}$es continuo Después$|f|$es continuo

Dejar$\epsilon > 0$ser dado y dejar$a \in I$ser nuestro punto de interés. Entonces, deseamos probar que:

$$\exists \delta > 0: |x-a| < \delta \implies | |f|(x)-|f|(a) | < \epsilon$$

Sin embargo, notamos que$|f|(x) := |f(x)|$. Por la desigualdad del triángulo inverso, se da el caso de que:

$$| |f(x)| - |f(a)| | \leq |f(x)-f(a)|$$

Sabemos que el deseado$\delta_1 > 0$existe cuando tenemos:

$$|f(x)-f(a)| < \epsilon$$

Entonces, simplemente elegimos nuestro requerido$\delta = \delta_1$y hemos terminado.