Demuestra que este número es divisible por 7 [duplicado]

Question

Sin utilizar la inducción, ¿cómo se puede probar que 7 divide $3^{2n+1}+2^{n+2}$ para cada $n\in\mathbb{N}$? Traté de expandirlo usando$\frac{x^{n+1}-1}{x-1}=1+x+..+x^n$pero no tuve éxito. Sería genial si se proporcionara más de una prueba.

Answer 1

\ begin {eqnarray *} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (3 ^ {2n + 1} + 2 ^ {n + 2}) x ^ n = \ frac {3} {1-9x} + \ frac {4} {1-2x} = \ frac {\ color {rojo} {7} (1-6x)} {(1-9x) (1-2x)}. \ end {eqnarray *} Esta función claramente tiene coeficientes enteros \ begin {eqnarray *} \ frac {(1-6x)} {(1-9x) (1-2x)} = (1-6x) \ left (1 + 9x + 81x ^ 2 + \ cdots \ right) \ left (1 + 2x + 4x ^ 2 + \ cdots \ right). \ end {eqnarray *}

Answer 2

SUGERENCIA: Simplifique $3^{2n+1}+2^{n+2}$ modulo $7$, usando el hecho de que $3^{2n+1}=3\cdot 3^{2n}$ y $3^2\equiv2\pmod7$.

Answer 3

$3^{2n + 1} + 2^{n+2} = 3\cdot 3^{2n} + 2^2\cdot 2^n = 3\cdot(9)^n + 4\cdot s2^n\equiv 3\cdot(2)^n + 4\times 2^n = 7\cdot 2^n\equiv 0\pmod 7$.

Answer 4

$3^{2n+1}+2^{n+2}=3\times9^n+4\times2^n=7\times2^n+3\times(9^n-2^n)$

$=7\times2^n+3\times(9-2)(9^{n-1}+\cdots+2^{n-1})=\color{red}7\times2^n+3\times\color{red}7(9^{n-1}+\cdots+2^{n-1})$