Demuestre el Lema de Euclides general en un UFD usando factorización prima

Question

He visto muchas pruebas para este teorema: en un UFD si $(a,b)=1$ y $a|bc$ entonces $a|c$. En su mayoría utilizan la ley distributiva de la mcd, por ejemplo, aquí . Bueno, quería probar esto simplemente confiando en las propiedades que tenía la UFD.

Mi intento: Desde $a|bc$ entonces para algunos $r$ tenemos $ar=bc$. Ahora por la existencia, ya que sabemos que cualquier elemento no unitario como$a$ se puede reescribir como $t_1×....t_n$ dónde $t_i$ son irreductibles, podemos hacer esto:

$$p_1^{α_1}...p_n^{α_n} g_1^{ε_1}...g_m^{ε_m} =q_1^{β_1}...q_k^{β_k}h_1^{ψ_1}...h_i^{ψ_i}$$ (Dónde $p_i$, $g_i$, $q_i$ y $h_i$son primos.) Por unicidad, el conjunto que está a la derecha debería estar también a la izquierda, ¿estoy en lo cierto? Pero desde$(a,b)=1$ entonces $a$ y $b$no debería compartir elementos primarios. De alguna manera es como$A$ es un subconjunto de $C$. Realmente no puedo manejar esto, pero se está convirtiendo en un problema en la teoría de conjuntos.

¿Puedes ayudarme con mi propio enfoque?

Answer 1

Estás muy cerca. Echemos un vistazo a esta ecuación que declaró: '

$$ p_1^{α_1}...p_n^{α_n} g_1^{ε_1}...g_m^{ε_m} =q_1^{β_1}...q_k^{β_k}h_1^{ψ_1}...h_i^{ψ_i} $$

correspondiente a $ar=bc$. Como dijiste, debido a que estamos en una UFD, el conjunto de primos, contados con multiplicidad, es el mismo en ambos lados (hasta unidades). Además, como$(a,b)=1$ entonces no $p_i$ puede dividir $b$. Una vez más, por unicidad, eso significa que no$p_i$ puede dividir $q_j$. De hecho, podemos ir más lejos y decir que no$p_i^{\alpha_i}$ puede dividir $q_j$. Poniendo esto junto, todos los$p_i^{\alpha_i}$debe aparecer en la factorización del lado derecho (hasta unidades). Además, el$p_i^{\alpha_i}$ no puedo dividir el $q_j$. Por tanto, hasta unidades,$p_i^{\alpha_i}$ cada uno debe dividir algo $h_j^{\psi_j}$. Por tanto, todos los factores primos de$a$ contado con multiplicidad dividir $c$. Por lo tanto,$a \mid c$.

Answer 2

Tiene una prueba natural por inducción sobre el número $\:\!k\:\!$ de factores primos de $\,a,\,$usando como paso inductivo el Lema de Euclides (si un primo divide un producto, entonces divide algún factor). Si$\,k=0\,$ entonces $\,a\,$ es una unidad entonces $\,a\mid c.\,$ Más $\,a = p\bar a\,$ por un mejor $\,p\,$ entonces $\,p\bar a\mid bc\,\Rightarrow\,p\mid b\,$ o $\,p\mid c,\,$ entonces $\,\color{#c00}{p\mid c}\,$ por $\,(p,b)=1\,$ por $\,(p\bar a,b)=1$. Cancelado$\,p\,$ de $\,p\bar a\mid bc\Rightarrow \bar a\mid b\,\color{#c00}{c/p},\,$ y $\,(\bar a,b)=1\,$ por $\,(p\bar a,b)=1.\,$ darse cuenta $\,\bar a\,$tiene menos factores primos que$\,a=p\bar a,\,$ así $\,\bar a\mid \color{#c00}{c/p}\underset{\textstyle\times\, p}\Rightarrow p\bar a\mid c\ $ (es decir $\,a\mid c),\,$ por inducción.

Ejercicio $ $Haga explícitos todos los usos implícitos de la existencia y unicidad de las factorizaciones primarias que se emplean en la demostración (necesario para ser completamente riguroso).