Demuestre que en una secuencia de subconjuntos encadenados, la intersección es finita y no está vacía

Question

El título es simplemente una versión simplificada. Actualmente, estoy leyendo Understanding Analysis y trabajando en los preliminares. La pregunta es:

Si $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4\cdots$ son todos conjuntos finitos, no vacíos de números reales, entonces la intersección $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ es finito y no vacío.

El libro en este punto no ha definido formalmente lo finito. Además, la única pista, en mi opinión, que ofrece el libro es la siguiente pregunta,

Si $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4\cdots$ son todos conjuntos que contienen un número infinito de elementos, entonces la intersección $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ es infinito también.

Con esta pregunta y un ejemplo antes mencionado, puedo resolver este problema definiendo el conjunto $A_i = \{i,i+1,i+2\dots\}\subseteq N$ y una prueba por contradicción.

Sin embargo, cuando se trata de $A_i$ que contienen elementos finitos, ahora no sé cómo

1. Demuestre por definición
2. Comprender la intuición detrás no puede encontrar un contraejemplo como la versión infinita

Answer 1

Una forma es notar que una secuencia decreciente de enteros positivos, en este caso las cardinalidades de los conjuntos $A_k$, debe eventualmente ser constante. Xa$k\in\Bbb Z^+$ dejar $n_k=|A_k|$, el número de elementos en $A_k$; $n_k$es un número entero positivo. Dejar$N=\{n_k:k\in\Bbb Z^+\}$; $N$ es un conjunto no vacío de enteros positivos, por lo que tiene un elemento más pequeño $m$. Dejar$\ell\in\Bbb Z^+$ ser tal que $n_\ell=m$.

$A_{\ell+1}\subseteq A_\ell$, entonces $n_{\ell+1}\le n_\ell=m$. Pero$m=\min N$, entonces $n_{\ell+1}\ge m$, y por lo tanto $n_{\ell+1}=m$. Así,$A_{\ell+1}\subseteq A_\ell$ y $|A_{\ell+1}|=|A_\ell|$ , entonces $A_{\ell+1}=A_\ell$. Puedes usar esta idea para demostrar por inducción que$A_k=A_\ell$ para cada $k\ge\ell$. Entonces ya casi terminas.$A_k\supseteq A_\ell$ para $k=1,\ldots,\ell$y $A_k=A_\ell$ para $k>\ell$, entonces

$$\bigcap_{k\ge 1}A_k=\bigcap_{k=1}^\ell A_k\cap\bigcap_{k>\ell}A_k=A_\ell\cap A_\ell=A_\ell\,.$$