Demuestre que la topología del producto en $\Bbb C^n$ es igual al habitual

Question

Entonces es bien sabido que la función $\tau_n:\Bbb C^n\times\Bbb C^n\rightarrow\Bbb C$ definido por la condición

1. $\tau_n(x,y):=\sum_{i=1}^n x_i\overline y_i$

para cualquier $x,y\in\Bbb C^n$es un producto interior. Así que pido demostrar que la topología del producto en$\Bbb C^n$ inducida por el producto interno $\tau_1$ es igual a la topología $\tau _n$como se definió anteriormente. Señalo que necesito este resultado para mostrar que las funciones lineales entre dos espacios vectoriales topológicos son continuas y, por lo tanto, mostrar que todas las topologías en un espacio vectorial topológico de dimensión finita son equivalentes y, por lo tanto, solicito cortésmente no dar lo que acabo de decir como responder. Entonces, ¿alguien podría ayudarme, por favor?

Answer 1

La topología del producto es generada por la norma.

$$N_\infty(x)=\max(\vert x_1\vert, \dots \vert x_n\vert)$$ dónde $\vert x \vert = \sqrt{\tau_1(x,x)}$. Denotando

$$N_2(x) = \sqrt{\tau_n(x,x)}$$ tenemos

$$1/\sqrt{n}N_\infty(x) \le N_2(x) \le \sqrt{n} N_\infty(x)$$ que permite concluir con el resultado deseado.