Demuestre que no hay soluciones enteras para $x\left(y^{2}-1\right)=y\left(2+\frac{1}{x}\right)$
He luchado con este problema durante bastante tiempo, le pregunté a algunos de mis compañeros y maestros, y todavía tengo que encontrar la solución. Este es el problema:
Demuestre que no hay soluciones enteras para la ecuación $$x\left(y^{2}-1\right)=y\left(2+\frac{1}{x}\right)$$
Esto es lo que he probado:
- Expandir, mover cosas, factorizar (no pude factorizarlo en algo útil)
- Expandiendo, convirtiendo a una ecuación cúbica (Demasiado difícil de resolver)
- Expandir, convertir a cuadrático, usar la fórmula cuadrática (no pude simplificarlo lo suficiente)
¡Sería genial si ustedes pudieran ayudar!
Saludos cordiales, Anay Aggarwal
Respuestas
Reescribiendo la ecuación como $y/x=x(y^2-1)-2y$, vemos que debemos tener $x\mid y$(ya que el lado derecho es un número entero). Así que dejando$y=xu$ (con $x\not=0$), obtenemos
$$u=x(x^2u^2-1)-2xu$$
lo que implica $x\mid u$ y $u\mid x$, entonces $u=\sigma x$ con $\sigma=\pm1$. Pero esto da
$$\sigma x=x(x^4-1)-2\sigma x^2$$
que simplifica (al cancelar un $x$) a
$$x^4-2\sigma x-1-\sigma=0$$
y tampoco $x^4-2x-2=0$ ni $x^4+2x=0$ tiene raíces enteras (distintas de cero).
Bueno, no puedes tener $x=0$ así que multiplica por $x$ para obtener $$x^2(y^2-1)=y(2x+1)$$
Entonces o tienes $y=\pm 1$ [o $y=0$] (que puede excluir) o el lado izquierdo es positivo.
Ahora compare los términos en $x$ a cada lado (cuidado que $2x+1$ puede ser negativo) y los términos en $y$ a cada lado (con similar cuidado).
Se nos da $x(y^{2}-1)=y\left(2+\dfrac{1}{x}\right)$ con $x,y\in\Bbb Z$. La presencia del$1/x$ término implica $x\neq0$ y por lo tanto $y\neq0$. Multiplicar por$x$ da $$x^2(y^2-1)=y(2x+1).$$Tenga en cuenta que $2x+1$es impar. Por lo tanto$y$ no puede ser extraño, porque entonces $y^2-1$sería par, y nuestra ecuación igualaría un número par a un número impar. Entonces$y$incluso. Por lo tanto$x^2$ es par, y por lo tanto también lo es $x$. Resulta que$y$ es divisible por $4$. Luego$|(y^2-1)/y|=|y-1/y|>3$, mientras $|(2x+1)/x^2|=|2/x+1/x^2|<2$. En consecuencia, nuestra ecuación no puede satisfacerse.
Bienvenido a MSE. Puedes resolver por$y$ usando la fórmula cuadrática: $$ y = \frac{2x+1\pm\sqrt{4 x^4+4 x^2+4 x+1}}{2 x^2} $$Gracias a JW Tanner por rescatar esta respuesta. por$x\ge 1$, $4x^4+4x^2+4x+1$ está entre $(2x^2+1)^2$ y $(2x^2+2)^2$, por lo que su raíz cuadrada no es un número entero. Del mismo modo, para$x\le-1$, esta entre $4x^4$ y $(2x^2+1)^2$, y podemos descartar el caso $x=0$en la ecuación original. Entonces no hay soluciones enteras.
Tenemos
$$xy^2-x = 2y+\frac{y}{x}$$ $$x^2y^2-x^2=2xy+y$$ $$x^2y^2-x^2-y-2xy = 0$$ Resolver como cuadrático en $x$
$$(y^2-1)x^2-(2y)x-y = 0$$
Usar fórmula cuadrática
$$x = \frac{2y\pm \sqrt{4y^2+(4y^3-4y)}}{2(y^2-1)}$$
$$x = \frac{2y\pm \sqrt{4y^3+4y^2-4y}}{2y^2-2}$$
Podemos factorizar un $2$ Llegar
$$x = \frac{y\pm \sqrt{y^3+y^2-y}}{y^2-1}$$
Eche un vistazo a la raíz cuadrada, la única raíz racional es $y = 0$ (por RRT), pero probando esta solución, $x = 0$, y la primera expresión tiene un $\frac{y}{x}$ en él, y obviamente dividiendo por $0$ es ilegal en este caso.
Otra forma de ver eso $y = 0$ es la única raíz racional es factorizar
$$y^3+y^2-y = y(y^2+y-1)$$
Luego $y^2+y-1$ no tiene raíces racionales.
Por tanto, no existen soluciones enteras.
Si bien menciona que graficarlo en realidad no proporciona una prueba, podría ayudar a reconocer dónde las cosas son interesantes. Si graficamos la ecuación en Desmos, obtenemos:
https://www.desmos.com/calculator/tplmejuuj0
Este gráfico hace que sea obvio que no hay soluciones enteras que no sean $(0,0)$, que debemos eliminar porque no podemos tener $x=0$. Pero, ¿cómo probar esto? Creo que una prueba por contradicción es nuestra mejor apuesta.
Asumir $x, y \in \mathbb Z $. Entonces el lado izquierdo$x(y^2-1)$ es siempre un número entero.
Ya sabemos $x \neq 0$
Primero, considere $x = \pm 1$. Tenemos$y^2 - 1 = 3y$ o $1-y^2=y$. Ninguno$y^2-3y-1$ ni $y^2+y-1$ tiene una raíz racional (según el teorema de la raíz racional, $y$ Solo puede ser $\pm 1$, y ninguna de las opciones nos da un cero).
Segundo, considere $x$es cualquier otro número entero. Por lo tanto$2+1/x$no es un número entero. Como sabemos que el lado izquierdo debe ser un número entero, para que el lado derecho también sea un número entero,$y$ debe ser un múltiplo entero de $x$o $y=kx, k \in \mathbb Z$. En cuyo caso tenemos:
$$ x(k^2x^2-1) = 2kx +k $$ $$ k^2x^3-x = 2kx+k $$ $$k^2x^3-2kx -x-k = 0 $$
Según el teorema de la raíz racional, cualquier raíz entera debe ser una de $\{\pm1,\pm k,k^2\}$. Dado que ninguna de esas raíces hace que el lado izquierdo sea igual a cero para el número entero$k$, no hay raíces enteras para $|x| > 1$.
Hemos eliminado todas las posibles soluciones enteras para $x$. Por tanto, no hay solución con$x,y \in \mathbb Z$.
Un poco complicado, pero espero que ayude.