Densidad de primos gaussianos dentro de discos consecutivos centrados a lo largo del eje real del plano complejo

Question

Definamos la familia de subconjuntos consecutivos de$\mathbb{N}$:$$S_n =\{x \in \mathbb{N}\,:\,|x-n^2|\le n\}$$Con la definición anterior tenemos que$$U_n=\bigcup_{k=1}^n S_k=\{x \in \mathbb{N}\,:\,0\le x \le n^2+n\}$$y$$\pi(U_n)\sim\frac{n^2}{2\log n}$$tiempo$$\pi(S_n)\sim\pi(U_n)-\pi(U_{n-1})\sim\frac{n}{\log n}$$Por lo tanto, la densidad de números primos en$S_n$es dado por:$$\rho_n=\frac{\pi(S_n)}{2n}\sim \frac{1}{2\log n}$$ Ahora extendamos todos los argumentos anteriores al plano complejo: $$D_n =\{z \in \mathbb{C}\,:\,|z-n^2|\le n\}$$ $$V_n=\bigcup_{k=1}^n D_k$$

Si indicamos con$\pi_G(X)$el número de primos gaussianos dentro del subconjunto$X$de$\mathbb{C}$, la investigación numérica sugiere que $$\pi_G(V_n)\sim\frac{n^3}{3\log n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$tiempo$$\pi_G(D_n)\sim\pi_G(V_n)-\pi_G(V_{n-1})\sim\frac{n^2}{\log n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$Así que la densidad de primos gaussianos en$D_n$es dado por:$$\rho_n^G\sim\frac{\pi_G(D_n)}{\pi n^2}\sim \frac{1}{\pi \log n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$

Agradecería cualquier sugerencia sobre la validación teórica de los comportamientos asintóticos (1), (2), (3).

Answer 1

Lo que observa se puede explicar heurísticamente, con base en la hipótesis de Riemann para la función zeta de Dedekind de$\mathbb{Q}(i)$, y la expectativa de que$D_n$es una subregión no muy especial del anillo$$A_n:=\{z\in\mathbb{C}:n^2-n\leq|z|\leq n^2+n\}.$$

De hecho, asumiendo la hipótesis de Riemann para$\zeta_{\mathbb{Q}(i)}$, obtenemos que la densidad de primos gaussianos en$A_n\cap\mathbb{Z}[i]$es$$\sim \frac{4((n^2+n)^2-(n^2-n)^2)/\log n^4}{\text{area of $Un$}}=\frac{1}{\pi\log n}.$$El factor$4$es el tamaño del grupo de unidades$(\mathbb{Z}[i])^\times$. Quizás este resultado ya se sigue de un teorema de densidad cero probado para$\zeta_{\mathbb{Q}(i)}$, ya que el resultado análogo para números primos racionales es un antiguo resultado de . En cualquier caso, los valores absolutos de$z\in D_n$variar entre$n^2-n$y$n^2+n$, y no están demasiado concentrados alrededor$n^2$, por lo que es razonable esperar que la densidad de primos gaussianos en$D_n\cap\mathbb{Z}[i]$es asintóticamente igual que en$A_n\cap\mathbb{Z}[i]$; esto es lo que tu$(3)$registros. Las declaraciones$(1)$y$(2)$seguir fácilmente de$(3)$. Prueba$(3)$parece no trivial incluso bajo la hipótesis de Riemann para$\zeta_{\mathbb{Q}(i)}$; pero nuevamente, los conocidos teoremas de densidad cero podrían ser suficientes para este propósito.