Derivación de la fórmula de Breit-Wigner

Dec 05 2020

He estado repasando esta derivación de la fórmula de Breit-Wigner para la resonancia en la física de partículas, pero no puedo conciliar los pasos con mi conocimiento de QM.

El estado inicial viene dado por:

$$ \psi(t)=\psi(t=0)e^{-iE_0t}e^{-\frac{t}{2\tau}}$$

Aquí surge mi primera pregunta:

  1. ¿Se descuida la dependencia del puesto? Si es así, ¿por qué?

Entonces, se dice

$$\textrm{Prob}(\textrm{ find state } |\psi\rangle)\propto e^{-\frac{t}{\tau}} $$

  1. Encontrar el estado $|\psi\rangle$¿dónde? En el momento$t$? ¿Qué significa esto?

Ahora podemos convertir esto al dominio de la energía mediante la transformación de Fourier $\psi(t)$:

$$f(E)=\int_0^\infty \textrm{d}t\,\psi(t)e^{iEt}$$

y obtenemos

$$f(E)= \dfrac{i\psi(0)}{(E_0-E)-\frac{i}{2\tau}}$$

  1. ¿Por qué se trata de una transformada de Fourier si el rango comienza en $0$ y no en $-\infty$?
  2. ¿Por qué es esto válido? Estoy acostumbrado a convertir de posición a espacio de impulso, pero el tiempo-energía es algo que nunca he hecho en QM.
  3. Además, ¿cuáles son los estados propios del tiempo? Por posición e impulso tenemos$|x\rangle$ y $|p\rangle$, pero por tiempo?

El procedimiento continúa y afirma que la probabilidad de encontrar el estado $|\psi\rangle$ con energia $E$ es dado por

$$|f(E)|^2=\dfrac{|\psi(0)|^2}{(E_0-E)^2+\frac{1}{4\tau^2}} $$

  1. No debería ser $|f(E)|^2\textrm{d}E$?

Respuestas

CosmasZachos Dec 06 2020 at 22:39

Me temo que uno está boxeando con su texto no revelado. Todos los buenos textos de QM cubren esto, pero uno no sabe con qué está teniendo problemas. El estado es$$ \psi(t)=\psi(0)~e^{-iE_0t}e^{-\frac{t}{2\tau}},$$ por lo que la probabilidad de que no se haya deteriorado disminuye monótonamente, $$ |\psi(t)|^2 / |\psi(0)|^2 = e^{-t/\tau}, $$la ley estándar de desintegración exponencial. Podría multiplicarse por el número de dichas partículas para obtener una probabilidad de supervivencia global, por ejemplo, de un trozo de material radiactivo.

(1,2) Se ha integrado cualquier dependencia espacial concebible, ya que es irrelevante para la desintegración. El estado podría estar en cualquier lugar y en todas partes del espacio, y su decaimiento no se vería afectado por consideraciones espaciales; piense en hacer todas las integrales espaciales de antemano. El cuadrado de la función de onda, entonces, es una probabilidad de existencia, en todo el universo, de ese estado, y no una probabilidad de densidad espacial. Tenga en cuenta que el estado es un autoestado hamiltoniano, pero el autovalor no es real,$E_0-i/2\tau$, porque el hamiltoniano no es ermitaño. La probabilidad de la existencia del estado como una fracción de una probabilidad inicial de 1, cuando comienza a medir el tiempo, está disminuyendo hasta 0 en un tiempo infinito.

(3) Su intervalo de tiempo es entonces [0,$\infty$), y eso es lo que integra, por lo que solo está haciendo la mitad de una transformada de Fourier, ya que la transformada de Fourier completa lo llevaría de regreso a un valor infinito (¡duh!), Y solo desea monitorear la probabilidad de supervivencia en relación con un inicio tiempo 0.

(4) ¿Válido? es una operación formal:$$f(E)=\int_0^\infty \textrm{d}t\,\psi(t)e^{iEt} = \dfrac{i\psi(0)}{(E-E_0)+\frac{i}{2\tau}} ~,$$proporcionándole una descomposición espectral de su estado, y es útil en las aplicaciones no reveladas de su texto. Es esencialmente el propagador del estado inestable en cuestión, proporcionando la amplitud para el decaimiento.

(6) De hecho, normalmente $|f(E)|^2$correspondería a una densidad de probabilidad en E , una distribución de Lorentzian o Cauchy , cuya FT (completa), como puede ver, le da una$\propto e^{-|t|/\tau}$, la mitad de los cuales ha estado usando aquí.

(5) es oscuro ... El tiempo es un parámetro.