Diferentes resultados en DEigensystem en comparación con NDEigensystem para el problema de valor propio de Laplacia (-Δu = λu) en el cuadrado unitario

Question

Quiero calcular la solución al problema del valor propio laplaciano en el cuadrado unitario con condiciones triviales de frontera de Dirichlet: $$- \Delta u(x,y) = \lambda u(x,y) \text{ on } {[0,1]}^2$$ con $u(0,y)=0$,$u(1,y)=0$,$u(x,0)=0$,$u(x,1)=0$.

Sin embargo, Mathematica 12 reporta diferentes funciones propias cuando se usa NDEigensystem en contraste con DEigensystem usando los siguientes códigos:

Versión DEigensystem:

{vals, funs} = 
DEigensystem[{-Laplacian[u[x, y], {x, y}], 
DirichletCondition[u[x, y] == 0, True]}, 
u[x, y], {x, y} ∈ Rectangle[], 2];
Table[ContourPlot[funs[[i]], {x, y} ∈ Rectangle[], 
PlotRange -> All, PlotLabel -> vals[[i]], PlotTheme -> "Minimal", 
Axes -> True], {i, Length[vals]}]

Versión del sistema NDEigens:

{vals, funs} = 
NDEigensystem[{-Laplacian[u[x, y], {x, y}], 
DirichletCondition[u[x, y] == 0, True]}, 
u[x, y], {x, y} ∈ Rectangle[], 2, 
Method -> {"PDEDiscretization" -> {"FiniteElement", 
"MeshOptions" -> {"MaxCellMeasure" -> 0.0001}}}];
Table[ContourPlot[funs[[i]], {x, y} ∈ Rectangle[], 
PlotRange -> All, PlotLabel -> vals[[i]], PlotTheme -> "Minimal", 
Axes -> True], {i, Length[vals]}]

Para la segunda función propia, el DEigensysteminforme informa la función propia clásica del libro de texto, mientras que la solución numérica con NDEigensystemes fundamentalmente diferente, aunque la discretización de la malla se establece en un valor muy pequeño.

¿Porqué es eso?

Answer 1

Como ya se señaló en los comentarios de @march y @xzczd, el segundo estado más bajo con valor propio $\lambda_{1,2} = \lambda_{2,1} = 5 \pi^2$ es doblemente degenerado.

DEigensystem

NDEigensystem

Esto significa que las funciones propias correspondientes no solo se determinan hasta una escala (como para el estado más bajo). Están más bien determinados a ser una base ortogonal del espacio propio.

$$ E_{5 \pi^2} = \{a \phi_{1,2} + b \phi_{2,1} \mid a,b \in \mathbb{R}, \, -\Delta \phi_{1,2} = 5 \pi^2 \phi_{1,2}, \, -\Delta \phi_{2,1} = 5 \pi^2 \phi_{2,1}, \, \phi_{1,2} \perp \phi_{2,1}\} $$

Tenemos $\text{dim}(E_{5 \pi^2}) = 2$. Los resultados de NDEigensystem($\phi_{1,2,\text{ND}}, \phi_{2,1,\text{ND}}$) son, por tanto, también soluciones válidas porque abarcan el mismo espacio propio:

$$ E_{5 \pi^2} = \text{span}\{\phi_{1,2,\text{NDEigen}}, \phi_{2,1,\text{NDEigen}}\} \\ = \text{span}\{\phi_{1,2,\text{DEigen}}, \phi_{2,1,\text{DEigen}}\} \\ = \text{span}\{\sin(1 \pi x)\sin(2 \pi y), \sin(2 \pi x)\sin(1 \pi y)\} $$