Dificultad para entender declaraciones que usan consecuencia semántica a pesar de conocer la definición
Sé que la consecuencia semántica significa que todas las declaraciones de la izquierda pueden ser todas verdaderas (son satisfactorias) si el lado derecho es verdadero. Si el lado derecho es falso, las declaraciones del lado izquierdo no pueden ser todas verdaderas.
Hay algunas declaraciones que me causan problemas.
El primero: $$ [\{\Gamma, \phi \} \vDash \psi] \ \ iff \ \ [\{\Gamma\} \vDash (\phi \rightarrow \psi)] $$ Si empiezo por la izquierda del iff, todas las declaraciones tienen sentido.
El problema es cuando empiezo con el lado derecho del iff y $\Gamma$ es verdad, $\phi$ es falso, y $\psi$es verdad. Esa es una declaración legítima, pero prueba que toda la declaración es incorrecta.
El segundo: $$ [\{\bot\} \vDash \psi] $$
$\psi$podría ser cierto a pesar de que el lado izquierdo sea falso. Pensé que esto era imposible.
El tercero:
$$ If \ [\{\Delta, \lnot \phi\} \vDash \bot]\ then \ [\{\Delta\} \vDash \phi] $$
Si $\Delta$ es insaciable y $\phi$ es verdadera, la parte if es verdadera y la parte then es incorrecta.
Seguramente estoy malinterpretando algo si sigo encontrándome con este problema.
Respuestas
Sé que la consecuencia semántica significa que todos los enunciados de la izquierda pueden ser verdaderos (son satisfactorios) si el lado derecho es verdadero.
No, eso no es lo que significa. Es exactamente al revés: el lado derecho es verdadero si todas las declaraciones del lado izquierdo son verdaderas. Ahora, la definición de consecuencia semántica es que bajo cualquier interpretación dada, o el RHS es verdadero o al menos una afirmación en el LHS es falsa. ¡No se requiere que el LHS sea verdadero si el RHS lo es!
Tal vez sea más fácil verlo desde el punto de vista negativo: lo único que no debe suceder es que todas las afirmaciones del LHS sean verdaderas pero las del RHS falsas simuladamente. Si, según alguna interpretación, el RHS es cierto pero el LHS no, está bien. Esto significa, en particular, que si la LHS nunca puede ser verdadera simultáneamente (= es insatisfactorio), entonces no puede haber tal contrainterpretación, y la consecuencia es vaga.
(Consulte también la nota sobre (in) satisfacibilidad en el último párrafo; su uso aquí sugiere un malentendido de lo que significa).
$$ [\{\Gamma, \phi \} \vDash \psi] \ \ iff \ \ [\{\Gamma\} \vDash (\phi \rightarrow \psi)] $$ Si empiezo por la izquierda del iff, todas las declaraciones tienen sentido.
El problema es cuando empiezo con el lado derecho del iff y $\Gamma$ es verdad, $\phi$ es falso, y $\psi$es verdad. Esa es una declaración legítima, pero prueba que toda la declaración es incorrecta.
Está malinterpretando la estructura de la declaración. Estás mirando una asignación concreta de valores de verdad y tratas de distinguir a partir de esa interpretación si las consecuencias semánticas de la izquierda y la derecha se mantienen. Pero eso no es lo que dice: la declaración se traduce en
[Bajo todas las interpretaciones, cualquiera de las declaraciones en $\Gamma, \phi$ es falso o $\psi$es verdadero]
iff
[Bajo todas las interpretaciones, cualquiera de las declaraciones en$\Gamma$ es falso o $\phi \to \psi$ es verdad].
Es decir, primero tenemos que mirar todas las interpretaciones para determinar si las consecuencias semánticas son válidas y luego evaluar el "si y sólo si". Mirando solo un caso donde$\Gamma$ es verdad, $\phi$ falso y $\psi$ true no nos permite llegar a una conclusión sobre si se cumple cualquiera de los lados del "iff".
El segundo: $$ [\{\bot\} \vDash \psi] $$
$\psi$podría ser cierto a pesar de que el lado izquierdo sea falso. Pensé que esto era imposible.
Ver arriba: es al revés; solo se requiere que no sea posible que el RHS sea falso a pesar de que el LHS sea verdadero. Y este nunca puede ser el caso si la LHS no puede convertirse en verdad bajo ninguna interpretación en primer lugar, que es el caso de$\bot$, por lo que la consecuencia se mantiene vacía.
$$ If \ [\{\Delta, \lnot \phi\} \vDash \bot]\ then \ [\{\Delta\} \vDash \phi] $$
Si $\Delta$ es insaciable y $\phi$ es verdadera, la parte if es verdadera y la parte then es incorrecta.
Puede dejar de leer después de "Si $\Delta$ es insatisfactorio ": Entonces, ninguno de los LHS puede llegar a ser verdad, por lo que ambas consecuencias se mantienen vacías, y el" si entonces "se satisface.
Y solo para aclarar la terminología: "$\Delta$ satisfactorio / insatisfactorio "significa que es posible / imposible que todas sus declaraciones sean simultáneamente verdaderas bajo cualquier interpretación, es decir, $\Delta$no es contradictorio / contradictorio. Si es solo el caso bajo una interpretación particular que todas / no todas las declaraciones en$\Delta$ son verdad, entonces no decimos eso $\Delta$es satisfactorio / insatisfactorio, pero solo verdadero / falso. Lo mismo ocurre con las fórmulas individuales:$\phi$ es verdadero / falso en una interpretación particular, y satisfactorio / insatisfactorio si hay al menos una interpretación bajo la cual es verdadero.
Un modelo de $\Gamma$ en el cual $\phi$ es falso no dice nada sobre la declaración $\{\Gamma,\phi\}\vDash\psi$: esa declaración solo dice que$\psi$ es cierto en todos los modelos de $\Gamma$ y $\phi$, que es de hecho el caso si $\phi\to\psi$ es cierto en todos los modelos de $\Gamma$.