Distancia máxima recorrida en un movimiento de proyectil ideal
En un movimiento de proyectil, considere que el proyectil se lanza desde $(0,0)$como se remonta a los ejes cartesianos. Entonces la trayectoria viene dada por$$y=x \tan \theta \big(1-x/R)$$ dónde $\theta$ se mide desde $x$ eje, y la gravedad actúa a lo largo $y$ eje, $R$ representa el rango máximo que puede variar con la velocidad inicial que tiene una magnitud de $v$.
Usando la fórmula de longitud de arco de una curva general, $$dl=\int\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}\ dx$$ obtenemos la distancia recorrida como una integral de la forma D =$\sqrt{ax^2+bx+c}$
Puede encontrar un modelo interactivo aquí.
Mi pregunta: ¿Cómo encuentro en qué ángulo$\theta$ la distancia recorrida por el proyectil se maximizará, dada una $v$.
Intenté hacer $$\frac{d}{d \theta}D=0$$ pero me dio un desconocido $\frac{dx}{d \theta}$, No puedo acercarme más, así que creé un gráfico aquí y descubrí que está cerca de$56.4^\circ$ pero no estoy seguro de si está arreglado.
Respuestas
Su método no es tan malo al principio, excepto que parece haber ignorado (o al menos no haber dicho claramente) que $R$ depende de $\theta$también, que es lo que hace que este problema sea bastante difícil de resolver. Si le he entendido correctamente, le gustaría encontrar el valor de$\theta$ (para una velocidad fija $u$) que maximiza la longitud total del proyectil en el aire. En este caso, tomando derivados como$\frac{\text{d}x}{\text{d}\theta}$no es sensato. Las variables que desea maximizar con respecto son$a,b,$ y $c$, ya que estarás integrando sobre $x$!
A pesar de lo convencido que estaba inicialmente de que este problema debería tener un resultado analítico simple, ¡parece que no es el caso! Por lo que puedo ver, para resolverlo realmente, es necesario utilizar métodos numéricos. Si alguien conoce una forma mejor, me interesaría mucho . Déjame explicarte lo que hice.
Decidí hacer las siguientes suposiciones:
La velocidad total (una constante) es 1. Esto no es un problema, acabo de elegir unidades en las que $u=1$, que es perfectamente aceptable.
Solo estaré variando $u_y$, dada la restricción anterior. El valor de$u_x$ será arreglado por $\sqrt{1 - u_y^2}$.
Como ha señalado (pero formulado de manera ligeramente diferente), la longitud total cubierta por el proyectil es:
$$L = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\text{d}x}{\text{d}t}\right)^2} \text{d}t$$
(En este caso, he optado por parametrizar la curva en el momento $t$, que integro de $t=0$ a $t=2 u_y/g$, que puede mostrarse fácilmente como el tiempo total de vuelo. Tú también podrías hacerlo a tu manera).
Usando el hecho de que
\ begin {ecuación} \begin{aligned} y &= u_y t - \frac{1}{2}g t^2,\\ x &= u_x t, \end{aligned} \ end {ecuación}
es fácil demostrar que
$$L = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{(u_y-gt)^2 + u_x^2} \,\,\text{d}t = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{u^2 - 2u_y g t + g^2 t^2} \,\,\text{d}t.$$
En momentos como este, es útil "adimensionalizar" la ecuación, de modo que los límites no dependan de $u_y$. Podemos definir un tiempo "adimensional"$$\tau = \frac{g}{2u_y}t,$$ para que la integral se convierta en:
$$L = \frac{2}{g} \int_{0}^{1}u_y\sqrt{u^2 - 4 u_y^2 \tau + 4 u_y^2 \tau^2} \,\,\text{d}\tau,$$
que es una integral bastante desagradable de resolver a mano. ¿Quizás la gente de Math.SE podría hacerle justicia? Decidí usar Mathematica para resolverlo .
Primero integré la función numéricamente y tracé la integral para diferentes valores de $u_y$ como se muestra a continuación, y me sorprendió descubrir que $L$ tenía un valor máximo (mi pensamiento inicial fue quizás que no) para $u_y$ en algún lugar entre 0,82 y 0,84.
Dado esto, conseguí que Mathematica integrara la función y descubrí que
$$L = \frac{1}{4}\left( 2 u u_y + (u_y^2 - u^2) \ln\left({\frac{u - u_y}{u+u_y}}\right)\right).$$
No hay nada que nos impida utilizar unidades donde $u=1$ y por lo tanto $u_y \in (0,1)$, y en estas unidades
$$L= \frac{1}{4}\left( 2 u_y + (u_y^2 - 1) \ln\left({\frac{1 - u_y}{1+u_y}}\right)\right).$$
A continuación, intenté maximizar esto en función de $u_y$ tomando la derivada y equiparándola a cero, lo que conduce a:
$$2 + u_y \ln\left({\frac{1 - u_y}{1 + u_y}}\right) = 0.$$
Esta es una ecuación trascendental y, como tal, no se puede resolver fácilmente. Pero no es demasiado difícil resolverlo numéricamente para encontrar que$L$ se maximiza cuando $$u_y = 0.833557,$$
que se encuentra en el rango que esperábamos. Esto corresponde a un ángulo de$$\theta = \arctan{\frac{u_y}{\sqrt{1 - u_y^2}}} = 0.985516 \text{ rad} \approx 56.466^\circ.$$