División por $0$ Caso extremo en agrupamiento de medias C difusas
Tengo una pregunta sobre el cálculo de la matriz de partición para el algoritmo de agrupación de clústeres de medias C difusas (FCM). Por cualquier punto$x_i$ y centroide de racimo $c_j$, el valor de la membresía $w_{i,j}$ se calcula mediante el siguiente algoritmo (donde c es el número de conglomerados, m es un hiperparámetro de borrosidad y $\Vert \Vert$ es la distancia euclidiana): $$w_{i,j}=\sum_{k=1}^c \frac{1}{\left(\frac{\Vert x_i-c_j\Vert}{\Vert x_i-c_k\Vert}\right)^{\frac{2}{m-1}}}$$ Teóricamente (aunque es muy improbable experimentalmente), cualquier punto podría tener una distancia de $0$ de cualquier centroide, provocando una división por $0$.
La solución me parece obvia: si $\Vert x_i-c_k\Vert=0$, luego apunta $x_i$ se encuentra directamente en el centroide $c_k$, entonces $w_{i,k}=1$ y $w_{i,j}=0$ para todos los demás j, conservando el requisito de que $\sum_{j=1}^c w_{i,j}=1$, pero no estoy seguro de si esto es correcto según el algoritmo.
Si el punto $x_i$ se encuentra en el centroide $c_j$, es $w_{i,j}=1$ ¿cierto?
(Solo buscando alguna verificación, no pude encontrar nada en los materiales originales que estaba viendo ...)
Respuestas
Este es un caso especial del teorema donde se supone que no $c_k=x_i$.
El documento original en el que apareció esta fórmula es:
Un pariente difuso del proceso ISODATA y su uso en la detección de
cibernética y sistemas de clústeres compactos bien separados
J. C. Dunn (1973)
El artículo se puede encontrar en ella:
https://www-m9.ma.tum.de/foswiki/pub/WS2010/CombOptSem/FCM.pdf
y el teorema es el Teorema 3, (a) Caso 1 en la página 44.