¿Dónde está el error en esta "prueba" de que 3 = 0? [duplicar]
Vi este video (enlace en la parte inferior), con una supuesta "prueba" de que$3=0$. Es como sigue:
Dejar $x$ ser una solución de $$x^2+x+1=0 \tag1$$
Ya que $x\neq0$, podemos dividir ambos lados por $x$: $$\frac{x^2+x+1}{x}=\frac0x\implies x+1+\frac1x=0 \tag2$$
Desde $(1)$, $$x^2+x+1=0\implies x+1=-x^2$$
Sustituir $x+1=-x^2$ dentro $(2)$ $$\begin{align*} -x^2+\frac1x&=0 \tag3\\ \frac1x&=x^2\\ 1&=x^3\implies x=1 \tag4 \end{align*}$$ Sustituir $x=1$ dentro $(1)$ $$\begin{align*} 1^2+1+1&=0\\ 3&=0 \end{align*}$$
La explicación dada en el video es
Sustituyendo $x+1=-x^2$ dentro $(2)$ crea la solución extraña $x=1$ que no es una solución a la ecuación original $(1)$, $x^2+x+1=0$.
Ecuaciones$(1)$ y $(2)$ tener soluciones $\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$, pero después de la sustitución, la ecuación $(3)$ tiene estas dos soluciones y $1$.
Básicamente, está diciendo que el problema está sustituyendo $x+1=-x^2$, pero no estoy seguro de si este es realmente el problema. ¿Cómo puede una sustitución causar un problema si todo antes de la sustitución es correcto?
Después de leer los comentarios, me di cuenta de que muchos de ellos dicen que el problema real es $(4)$, porque $1=x^3$ también podría significar que $x=\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$. No considerar estas soluciones es el problema de la "prueba". También es necesario comprobar estas soluciones antes de sacar conclusiones y "elegir" la que sea correcta.
Entonces, mi pregunta es, ¿cuál es el problema con la "prueba" anterior de que $3=0$?
Video: "Demuestre" 3 = 0. ¿Puede detectar el error? https://www.youtube.com/watch?v=SGUZ-8u1OxM.
Respuestas
El problema es $x^3=1$ no implica que $x=1$. La ecuacion$x^3-1=0$ tiene tres posibles raíces y la raíz $x=1$ es una raíz generada adicionalmente.
La sustitución de un miembro de una ecuación en sí misma puede introducir soluciones extrañas.
P.ej $$x=x^2\implies x^2=x^2.$$
Puede hacerlo, siempre que mantenga la ecuación inicial también.
Las operaciones seguras son:
agregar un término a ambos miembros;
multiplicar ambos miembros por un factor distinto de cero;
aplicando una transformación invertible a ambos miembros.
Cualquier otra cosa (por ejemplo, cuadrar ambos miembros) debe hacerse con cuidado.
La sustitución puede causar una raíz extraña porque es un paso irreversible. Es decir, está claro que si$x^2 + x + 1 = 0$, entonces tenemos $x + 1 + 1/x = 0$, $x+1 = -x^2$, y por sustitución, $$ -x^2 + 1/x = 0. $$ Sin embargo, lo contrario no es cierto: si $-x^2 + 1/x = 0$, entonces no necesariamente sostiene que $-x^2 = x+1$, de donde se seguiría que $x^2 + x + 1 = 0$.
De hecho, vemos que así es como la solución $x = 1$ encaja: satisface $-x^2 + 1/x = 0$, pero no $-x^2 = x+1$.
Otra perspectiva: la sustitución se puede resumir con la siguiente multiplicación: $$ x^2 + x + 1 = 0 \implies\\ (-1 + 1/x)(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -(x^2 + x + 1) + \frac 1x(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -x^2 + 1/x = 0. $$ Multiplicar $x^2 + x + 1$ por otro factor ha dado al polinomio otra raíz.
Dejar $x\ne0$. Luego
$$x+1=-x^2\\\iff\\x+1=-\frac1x$$es verdad. Pero
$$x+1=-x^2\land x+1=-\frac1x\color{red}\iff-x^2=-\frac1x$$no es* ! La consecuencia lógica es solo de izquierda a derecha.
Como se muestra en la gráfica, las curvas de $-x^2$ y $-\dfrac1x$ se cruzan, pero no con $x+1$. Al equiparar los dos RHS anteriores, pierde información e introduce no soluciones.
* Si lo piensas, sería como decir
$$a=b\implies a=c\land b=c$$ lo que sea $c$.