Ejemplo de una función con una propiedad curiosa
Denotamos por $L^1(0,1)$ el espacio de las funciones integrables de Lebesgue en el intervalo $(0,1)$.
$\textbf{Question:}$ ¿Existe una función $F:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$ tal que:
- $\frac{F(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
- $\frac{F'(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
- $\frac{F(x)}{x^2}\notin L^1(0,1)$?
Supongo que la respuesta es positiva y el punto es construir $F$ tal que $F$ y $F'$comportarse adecuadamente cerca de cero. Parece bastante delicado. Lo comprobé$F$ no puede ser un polinomio o una función de potencia (desde entonces $F'\simeq \frac{F}x$, por lo tanto, las condiciones 2 y 3 no se pueden mantener simultáneamente).
¡Agradecería cualquier sugerencia!
Respuestas
No existe tal función. Ante todo,$|F(a)-F(b)|\leqslant \int_a^b |F'(x)|dx\to 0$ cuando $a,b\to 0$. Entonces$F$ tiene un limite $c$ en el punto 0. Si $c\ne 0$, luego 1) falla. Entonces$\lim_{x\to 0} F(x)=0$.
Próximo, $$|F(a)|\leqslant \int_{0}^a|F'(x)|dx\leqslant a\int_{0}^a\frac{|F'(x)|}x dx=o(a),\quad\text{when}\quad a\to 0.\quad (1)$$ Ahora $$ \int_a^b \frac{F(x)}{x^2}dx=\frac{F(a)}a-\frac{F(b)}b+\int_a^b \frac{F'(x)}xdx. \quad(2) $$ Considere dos casos:
$F$ tiene signo fijo cerca de 0. Luego elige $a,b$ cerca de 0 concluimos de (1) y (2) que $\int \frac{F(x)}{x^2}dx$ converge en 0, pero esto es equivalente a la convergencia de $\int \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ que necesitamos.
$F$ tiene un número infinito de ceros en cualquier vecindario de 0. Luego, elige $(a_k,b_k)$ siendo los intervalos máximos de inclusión del conjunto abierto $\{x:F(x)\ne 0\}$ y solicitando (2) para $a=a_k,b=b_k$ nos atamos $\int_0^c \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ vía $\int_0^c \frac{|F'(x)|}{x}dx$. Aquí$c=b_1$, por ejemplo.