¿El cierre de la unión incontable de conjuntos cerrados tiene interior denso?

Aug 21 2020

Dejar $\langle A_i\rangle_{i\in I}$, $I$ incontable, ser una colección de subconjuntos de $\mathbb{R}^d$ cada uno de los cuales es el cierre de su interior (no vacío).

¿Podemos inferir que el interior del conjunto $A :=\mathrm{cl}(\bigcup_{i\in I}A_i)$ es denso en $A$? En otras palabras, es$A$ el cierre de su interior?

(En lo anterior, el cierre $\mathrm{cl}(B)$ de un conjunto $B\subset\mathbb{R}^d$ se toma con la topología euclidiana en $\mathbb{R}^d$.)

Respuestas

2 Cronus Aug 21 2020 at 14:58

Sí, es cierto. Dejar$a\in A$, para que haya una secuencia $a_n$ de puntos en $\bigcup A_i$ tal que $(a_n)$ enfoques $a$ (como $n$va al infinito). Desde cada uno$A_i$ es el cierre de su interior, y dado que el interior de $A_i$ está contenido en $A$ para cada $i$, podemos encontrar, para cada $n\in \Bbb{N}$, un punto $(b_{n,m})_{m=1}^\infty$ de distancia como máximo $\frac{1}{m}$ desde $a_n$. Es fácil ver eso$b_{n,n}$ enfoques $a$ como $n$ va al infinito, entonces $a$ está en el cierre del interior de $A$. La otra inclusión es trivial, entonces$A$ es igual al cierre de su interior.