El gradiente de una función convexa es continuo en el interior de su dominio

Question

Dada una función convexa, semicontinua inferior y adecuada $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ que es diferenciable en su dominio, ¿es cierto que su gradiente $\nabla f$ es continua en el interior del dominio de $f$? Aquí estoy tomando$\text{dom}f = \{x\in\mathbb{R}^n: f(x)<\infty\}$. Lo que se me ocurrió fue que para tal función$f$, debe ser cierto que $f$es localmente Lipschitz continuo en su dominio y luego, según el teorema de Rademacher, es localmente diferenciable ae. Sin embargo, esto no consigue lo que quiero. ¿Alguien tiene una prueba o un contraejemplo?

Editar: este es el corolario 9.20 en Rockafellar y Wets, como resulta.

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, basta con probar $\nabla f$ es continuo en $x = 0$ cuando $\nabla f(0) = 0$. Suponer$x_n \to 0$ es tal que $|\nabla f(x_n)| > a > 0$. Dado$\epsilon>0$ tal que $B(0,2\epsilon) \subset \text{dom}(f)$, escoger $n$ así que eso $x_n \in B(0,\epsilon)$ y $f(x_n) - f(0) > -\epsilon^2$. Sabemos que existe$y \in B(x_n,\epsilon)$, $y \ne x_n$, tal que $$ f(y) \ge f(x_n) + a |x_n - y| $$ (es decir, elige $y$ en la dirección de $\nabla f(x_n)$ cerca de $x_n$). por$t \in \mathbb R$, dejar $z_t = t(y-x_n) + x_n$. Por convexidad, vea que para$t \ge 1$ $$ \tfrac1t f(z_t) + (1-\tfrac{1}t) f(z_0) \ge f(z_1) ,$$ es decir $$ f(z_t) \ge f(x_n) + a t |x_n-y| .$$ Escoger $t = \epsilon / |x_n - y|$. Tenga en cuenta que$|z_t| < 2 \epsilon$. Entonces $$ f(z_t) - f(0) = f(z_t) - f(x_n) + f(x_n) - f(0) \ge a \epsilon - \epsilon^2 . $$ Esto contradice que $\nabla f(0) = 0$.

Answer 2

Estoy actualizando esta publicación con la siguiente pregunta: Si $f$ es una función convexa definida en algún conjunto convexo $E\subseteq \mathbb R^n$ y si es diferenciable en $E$, ¿es cierto que su gradiente debe ser continuo en $E$ (y no solo en el interior)?