El lema de Hensel requiere que la valoración sea discreta
En la Teoría Algebraica de Números de Neukirch, la formulación del Lema de Hensel (Proposición 4.6 en el Capítulo II) no requiere que la valoración sea discreta, solo no arquimediana (a menos que de alguna manera no cumpliera con el requisito).
Siguiendo la demostración, utilicé la representación de un elemento. $x \in \mathcal{O}$ como $x = u \pi^n$, que se mantiene cuando la valoración es discreta. El artículo de Wikipedia también establece el lema solo para valoraciones discretas.
Mi pregunta es: ¿Es necesaria la discreción de la valoración? Si es así, ¿se supone en el libro que toda valoración es discreta a partir de este momento?
Encontré esta pregunta en la que se explica que las valoraciones no discretas a menudo se omiten en algunas ramas de las matemáticas, por lo que tendría sentido que Neukirch solo considere valoraciones discretas, pero de nuevo, no he visto esto mencionado.
Respuestas
¿Hubo un paso en la prueba en Neukirch (que no asumió la discreción) que no entendiste? Tenga en cuenta que el$\pi$en la demostración de Neukirch no es una elección de elemento principal en$\mathcal O$. Es un número de valor absoluto más grande entre los coeficientes en dos polinomios cuyos coeficientes están todos en el ideal máximo de$\mathcal O$ (tan necesariamente $|\pi| < 1$). Estoy de acuerdo en que puede parecer engañoso ver las potencias de un número escrito como$\pi$, ya que eso sugiere $\pi$ es un elemento primordial de $\mathcal O$, pero en ninguna parte necesita el ideal máximo de $\mathcal O$ para ser generado por $\pi$.
Otro libro con una formulación del lema de Hensel en la forma que se ve en Neurkich es el Teorema 4.1 de Dwork, Gerotto y Sullivan's "An Introduction to $G$-Funciones ". Trabajan en un campo completo valorado no arquimediano sin suposición de discreción y su demostración es diferente a la de Neurkirch, utilizando el teorema de mapeo de contracciones en un espacio de polinomios de grado acotado y sin potencias de un elemento para crear series de potencias en polinomios de grado acotado. Su forma del lema de Hensel es más general que lo que está en Neukirch: en lugar de asumir$f \not\equiv 0 \bmod \mathfrak p$ y que hay polinomios $g_0$ y $h_0$ en $\mathcal O[x]$ tal que $f \equiv g_0h_0 \bmod \mathfrak p$ dónde $\gcd(g_0 \bmod \mathfrak p,h_0 \bmod \mathfrak p) = 1$ en $(\mathcal O/\mathfrak p)[x]$, asumen que hay polinomios $g_0$ y $h_0$ en $\mathcal O[x]$ tal que$|f - g_0h_0|_{\rm Gauss} < |R(g,h)|^2$, dónde $|F|_{\rm Gauss}$ para un polinomio $F$ es el valor absoluto máximo de los coeficientes de $F$. La versión del lema de Hensel en Neukirch es el caso especial de la versión en DGS donde$R(g_0,h_0) \not\equiv 0 \bmod \mathfrak p$ (equivalentemente, $|R(g_0,h_0)|_{\rm Gauss} = 1$). Estas dos versiones del lema de Hensel son análogas a las dos versiones estándar del lema de Hensel en la formulación sobre el levantamiento de una raíz: (i) hay$\alpha_0 \in \mathcal O$ tal que $f(\alpha_0) \equiv 0 \bmod \mathfrak p$ y $f'(\alpha_0) \not\equiv 0 \bmod \mathfrak p$ en comparación con (ii) hay $\alpha_0 \in \mathcal O$ tal que $|f(\alpha_0)| < |f'(\alpha_0)|^2$, siendo (i) el caso especial donde $|f'(\alpha_0)| = 1$. (Una versión de levantamiento de raíz del lema de Hensel es un caso especial de una versión de levantamiento de factorización del lema de Hensel al tomar un polinomio en la factorización como monico y lineal: si$F(x) = (x - \alpha_0)h(x)$ luego $R(x-\alpha_0,h(x)) = h(\alpha_0) = F'(\alpha_0)$.)
La prueba del lema de Hensel en la "Teoría de los números" de Borevich y Shafarevich (p. 273) es un teorema que elimina la factorización como en Neukirch, pero su marco es más restrictivo que el de Neukirch en un sentido (su valor absoluto no arquimediano es discreto ) y más general. que la de Neukirch en otro sentido (su hipótesis involucra resultantes en lugar de un mod de factorización relativamente primo$\mathfrak p$).