En busca de una variedad que describa semigrupos fielmente representables como traducciones correctas.

Question

Si $G$ es un grupo, vemos que la biyección $y\mapsto y_r$, dónde $(x)a_r = xa$, funciones escritas desde la derecha, es un isomorfismo de grupo.

De esta forma, tenemos una interesante interpretación de los grupos como traducciones.

Inspirado por esto, deja $S$ser cualquier magma. Consideremos la misma operación de una traducción correcta en$S$. Podemos hacer una pregunta, ¿cuándo es este mapa?$y\mapsto y_r$ un homomorfismo.

Claramente, esto es iff $(x)a_rb_r = (x)(ab)_r$ para cualquier $x, a, b$, es decir, $(xa)b = x(ab)$.

De esta forma, a partir de una simple pregunta sobre las traducciones que forman un homomorfismo llegamos naturalmente a la definición de un semigrupo.

Podemos hacernos otra pregunta, ¿cuándo es este mapa un isomorfismo? Este es un isomorfismo si$y\mapsto y_r$ es inyectivo, y eso es si $(x)a_r = (x)b_r$, es decir, $xa = xb$ implica $a = b$ para todos $x, a, b$.

Dichos semigrupos se denominan reductores débiles a la izquierda, semigrupos lwr para abreviar.

Sin embargo, hay un problema serio con esto, los semigrupos lwr no forman una variedad entre estructuras con operación binaria. Claramente, si$S$ es un semigrupo que no es un semigrupo lwr, entonces $S^1$, dónde $S\mapsto S^1$es la operación de agregar un elemento de identidad, es un semigrupo lwr. Pero entonces$S^1$ contiene $S$ como su subsemigroup, de modo que un subsemigroup de un semigrupo lwr no tiene que ser un semigrupo lwr.

Pero hay una clase de semigrupos que forman una variedad, tal vez no como estructuras con operación binaria, sino con la adición de un elemento nular. Son monoides dejados$(S, \cdot, e)$ dónde $\cdot$ es una operación binaria, $e$ es un elemento nulo, y hay dos identidades: $x(yz)\approx (xy)z$, $ex \approx x$.

Como clase de semigrupos que proviene del olvido de la operación $e$ es decir $(S, \cdot, e)\mapsto (S, \cdot)$, todos los monoides de la izquierda son semigrupos lwr.

Mi pregunta es, si pudiéramos encontrar alguna estructura $(S, \cdot, \mathscr{F})$ dónde $\mathscr{F}$ denota el conjunto de todos $n$-funciones para $n\in\mathbb{N}_0$ otro que $\cdot$ , la función binaria, y las identidades, de modo que un conjunto de álgebras que satisfacen esas identidades forma una variedad, y el mapa $(S, \cdot, \mathscr{F})\mapsto (S, \cdot)$ pues cualquier álgebra de esa variedad la convierte en un semigrupo lwr, y por tanto la clase de conjuntos obtenidos de esta manera es máxima, o si es imposible.

Para empezar, es una variedad que cubriría una clase de semigrupos entre los monoides izquierdos y los semigrupos lwr.

Actualización :

He podido encontrar un candidato potencial para tal estructura. Considerar$(S, \cdot, e)$ dónde $e:S\to S$ es una operación unaria, con identidades $e(x)x \approx x$ y $e(x)e(y)e(x)y \approx y$.

Tales estructuras generalizan los monoides ya que si $f$ es la identidad de la izquierda, entonces $e(x) \equiv f$nos da una estructura del tipo anterior. Además, cualquier semigrupo que satisfaga esas relaciones es un semigrupo lwr, ya que$xa = xb$ implica $a = e(a)b$ y $b = e(b)a$ de modo que $a = e(a)e(b)e(a)b = b$.

Sin embargo, no tengo un ejemplo que no sea un monoide izquierdo.

Actualización 2 :

encontre eso $e(x)x\approx x$, $e(x)e(y)e(x)y \approx y$ son equivalentes a $e(x)^2 y \approx y$, $e(y)e(x)y \approx e(x)y$.

En particular, podemos arreglar $x\in S$ y tomar $ e = e(x)^2$, de modo que $ey = y$ para todos $y\in S$. Esto significa$S$ es un monoide izquierdo.

Actualización 3 :

Pequeños semigrupos de lwr que no quedan monoides :

Hay un semigrupo de orden lwr único $3$que no es un monoide izquierdo. Está dada por la matriz \ begin {bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \ end {bmatrix}

Según mis cálculos, hay $18$ semigrupos de orden $4$ que son lwr pero no monoides dejados, con Id's $54, 67, 69, 69^t, 70, 70^t, 77^t, 88, 92, 98, 99^t, 100, 101^t, 102, 102^t, 103^t, 110^t, 112$ en el paquete GAP Smallsemi, donde $t$ significa la tabla de multiplicar transpuesta (anti-isomorfismo).

Nueva estructura :

Consideremos $(S, \cdot, e)$ dónde $e$ es una operación binaria $e:S\times S\to S$, con identidades $e(x, y) \approx e(y, x)$ y $e(x, y)x\approx x$.

Puede pensar en la operación binaria como una elección de identidades de izquierda locales, que unen dos elementos $x, y$ juntos exigiendo $e(x, y)$ ser tanto la identidad de izquierda local de $x$ y $y$.

Si $S$ es un monoide izquierdo con identidad izquierda $f$, podemos tomar $e(x, y) \equiv f$.

Cualquier estructura de este tipo es un semigrupo lwr porque $xa = xb$ para todos $x$ implica $e(a, b)a = e(a, b)b$, y eso significa $a = b$.

Estas estructuras se discuten aquí y aquí .

Actualización 4:

¡Parece haber otra clase de semigrupos que son débilmente reductivos! Esos son semigrupos inducidos por categorías (pequeñas). La construcción se puede encontrar aquí en la respuesta de @ J.-E.Pin.

Si $(S, \cdot)$ es inducida por categoría $\mathcal{C}$y $x\cdot f = x\cdot g$ para todos $x\in S$ y morfismos $f, g$ de $\mathcal{C}$, luego tomando $x = 1_X$ dónde $X$ es el dominio de $f$, $f = 1_X\cdot g$. En particular,$1_X\cdot g = 1_X\circ g$ se define tan igual a $g$. Si$x\cdot f = x\cdot 0 = 0$ para todos $x\in S$ y morfismo $f$ de $\mathcal{C}$, entonces como antes $f = 0$. Contradicción.

Esto prueba que todos los semigrupos inducidos por categorías (pequeñas) son débilmente reductivos.

Answer 1

Puede describir la clase de todos los lwrs de esta manera, utilizando una operación binaria adicional y una ternaria. Denotando las dos operaciones por$w(a,b)$ y $r(a,b,c)$, considere la variedad definida por asociatividad de $\cdot$ e identidades $$r(a,b,w(a,b)\cdot a)=a,\\ r(a,b,w(a,b)\cdot b)=b.$$ Tenga en cuenta que si esas identidades se mantienen, entonces para cualquier $a\neq b$ Debemos tener $w(a,b)\cdot a\neq w(a,b)\cdot b$, que implica el semigrupo $(S,\cdot)$ es lwr para cualquier álgebra $(S,\cdot,w,r)$.

Por el contrario, si el semigrupo $(S,\cdot)$ es lwr, entonces para cualquier $a\neq b$ hay algunos $w(a,b)$ tal que $w(a,b)\cdot a\neq w(a,b)\cdot b$. Utilice esos valores para definir$w$, ajuste $w(a,a)$arbitrariamente. Ahora podemos definir$r(a,b,c)$ de tal manera que sea igual $a$ Si $c=w(a,b)\cdot a$, $b$ Si $c=w(a,b)\cdot b$ y toma cualquier valor para todos los demás $c$. Entonces$(S,\cdot,w,r)$ satisface las identidades anteriores.