En el espectro de un operador lineal acotado

Aug 20 2020

Según [wikipedia] [1]

Dejar $T$ ser un operador lineal acotado que actúa sobre un espacio de Banach $X$ sobre el complejo campo escalar $\mathbb{C}$ y $I$ ser el operador de identidad en $X$. El espectro de$T$ es el conjunto de todos $\lambda \in \mathbb{C}$ para lo cual el operador $T-\lambda I$ no tiene un inverso que sea un operador lineal acotado

Esta definición me parece poco precisa debido a lo siguiente. Porque$X$ es Banach, si $T$tiene una inversa, [esta inversa debe estar acotada] [2]. Pero (en mi opinión) la definición en wikipedia podría ser engañosa porque uno podría pensar que podría suceder que$T-\lambda I$ es invertible pero no acotado, en cuyo caso $\lambda$ parece ser también un elemento del espectro de $T$según la definición anterior. Creo que una mejor definición del espectro, en este caso, sería el conjunto de todos los números complejos como$T-\lambda I$ no es invertible.

Pregunta: Si$X$se supone que está normalizado en lugar de Banach, ¿cuál es la mejor definición de espectro? ¿Uno exige$T-\lambda I$no ser invertible o no ser invertible y acotado?

[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Spectrum_(functional_analysis)#:~:text=%2C%20for%20all%20) .-,% 20propiedades básicas, subconjunto% 20of% 20el% 20complejo% 20plano. & Text =% 20se% 20definido% 20en todas partes% 20en% 20el% 20complejo% 20plano% 20y% 20delimitado. & Text = El% 20delimitación% 20de% 20el% 20 espectro, delimitado% 20por% 20% 7C% 7CT% 7C% 7C. [2]: ¿ El inverso del operador acotado?

Respuestas

1 DisintegratingByParts Aug 20 2020 at 09:21

Si $T-\lambda I$ es inyectivo, entonces $T-\lambda I$ tendrá una inversa en $\mathcal{R}(T-\lambda I)$, pero eso no garantiza que $(T-\lambda I)^{-1} : \mathcal{R}(T-\lambda I)\subset X\rightarrow X$está ligado. Por ejemplo, considere$T : L^2[0,1]\rightarrow L^2[0,1]$ definido por $$ Tf = \int_0^x f(t)dt. $$ $T$está ligado. Aunque la inversa$T^{-1}g = g'$ está cerrado, se define solo en funciones $g \in L^2[0,1]$ que son

$\;\;\;$(i) absolutamente continuo,
$\;\;\;$(ii) desaparecer en $0$y
$\;\;\;$(iii) tienen una derivada integrable al cuadrado en $[0,1]$.

además $T^{-1}$no está limitado a su dominio; por lo que no es posible extender$T^{-1}$de tal manera que será continuo. Si el rango de$T$ eran todos de $X$, de modo que la inversa de $T$ se definieron en todas partes en $L^2[0,1]$, entonces su argumento se aplicaría porque $T$se definiría en un espacio de Banach y tendría un gráfico cerrado. Pero eso no tiene por qué suceder, incluso si$T^{-1}$ existe, como no sucede en este caso.