Encontrar la secuencia de funciones continuamente diferenciables con derivada acotada que convergen en una función no diferenciable

Question

Tengo algunos problemas con el siguiente problema, que indica lo siguiente: Suponga $\{f_n\}, n=0,1,2,...$ es una secuencia de funciones continuamente diferenciables $f_n :[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ convergiendo puntualmente a $f$, y que hay una constante $M>0$ tal que $|f_n'(x) < M|$ tiene para todos $x \in [0,1]$ y todo $n\geq 1$. Dé un ejemplo de una secuencia que satisfaga todas las hipótesis anteriores para la cual la función límite, sin embargo, no es diferenciable. Dibuje gráficos de algunas de las$f_n$y la función de límite $f$.

Ahora, ya he establecido que bajo las condiciones anteriores, $f_n$ en realidad converge uniformemente a $f$. Y como un resultado,$f$es continuo. Me encontré con una pregunta relacionada útil aquí: Secuencia de funciones diferenciables que convergen a una función no diferenciable y la secuencia$f_n := \sqrt{ 1/n + (x-1/2)^2}$ está cerca de lo que quiero, pero desafortunadamente no cumple con el requisito de tener algunos $M>0$ tal que$|f_n'(x) < M|$ tiene para todos $x \in [0,1]$ y todo $n\geq 1$. ¿Hay alguna forma de modificar esta secuencia para obtener el resultado deseado / hay un ejemplo mejor?

Creo que puedo visualizar más o menos lo que requerirá la solución: queremos una secuencia de funciones que sean fluidas en todas partes, pero para las que hay una parte suave que se vuelve más "nítida" a medida que $n$aumenta, hasta convertirse en una "esquina" en el límite. Pero tengo problemas para hacer que eso suceda mientras satisfago la parte derivada acotada de la hipótesis.

Answer 1

Qué tal si $f_n(x) = (x-\frac{1}{2})^{\large {1+\frac{1}{2n-1}}}=\left((x-\frac{1}{2})^2\right)^{n/(2n-1)}$ que converge a $\left |x-\frac{1}{2}\right| $