Encontrar raíces de polinomio$X^2 - X + 19$en$\mathbb Z/61 \mathbb Z$

Aug 18 2020

Para$p = 61$.

Me dieron las raíces de$X^2 + 3$en$\mathbb Z/p \mathbb Z$, que son$\pm 27 + p\mathbb Z$.

Entonces debo encontrar las raíces de$X^2 - X + 19$en$\mathbb Z/p\mathbb Z$, que he encontrado sin usar la información anterior.

Sin embargo, se supone que debo usar la información dada para encontrar las raíces de$X^2 - X + 19$en$\mathbb Z/p\mathbb Z$, a lo cual, no tengo ni idea de cómo seguir adelante.

Respuestas

1 J.W.Tanner Aug 18 2020 at 11:49

Completar el cuadrado.

$X^2-X+19\equiv0\bmod61\iff 4X^2-4X+76\equiv0\bmod61$

$\iff (2X-1)^2\equiv-75=-3\times 5^2 \bmod61$

$\iff 2X-1\equiv\pm27\times5\bmod61$.

¿Puedes tomarlo desde aquí?