Encontrar valores propios de una matriz de 3x3 dado el determinante y la traza

Question

Suponga un $3×3$la matriz A tiene solo dos valores propios distintos. Suponer que$\operatorname{tr}(A)=−1$ y $\det(A)=45$. Encuentre los valores propios de$A$.

Resolví un problema similar con una matriz de 2x2 usando las propiedades de traza y determinante (traza = a + dy det = ad-bc). Intenté adoptar el mismo enfoque para la matriz de 3x3 sin éxito, ya que expresar el polinomio característico es mucho más complejo. ¿Hay algún otro enfoque que pueda tomar?

Answer 1

Suponga que sus valores propios son $x$ y $y$. tu matriz$A$ es similar a una matriz diagonal $B$que tiene sus valores propios en su diagonal.
Ahora, matrices similares tienen el mismo determinante y la misma traza, por lo que podemos llegar a las siguientes ecuaciones:$$2x+y = -1$$ $$x^2y=45$$El primero es la suma de la diagonal (sabemos que hay 2 valores propios únicos, por lo tanto, uno de ellos aparecerá 2 veces en la diagonal).
El segundo es el producto de la diagonal (determinante de la matriz diagonal).
$$... y=\frac{45}{x^2}$$ $$... x=-3 \space\space\space$$

Si $x=-3 => y=5$
$x^2y=45$ y $2x+y=-1$. Y esa es nuestra respuesta :)

Answer 2

Hay para una matriz $A$ ese $$ \sum_i \lambda_i = \operatorname{tr}(A), \quad \prod_i \lambda_i = \det(A) $$ Dado que tiene un valor propio dos veces (supongo $\lambda_1$) esto resulta en: $$ 2 \lambda_1 + \lambda_2 = -1, \quad \lambda_1^2 \cdot \lambda_2 = 45 $$

// Editar: resultado corregido: Puedes resolver esto y llegar a:

$\lambda_1 = -3, \quad \lambda_2 = 5$