Encuentre la altura del trapezoide irregular con ángulos conocidos y área de superficie

CONOCIDO:
- Longitud CC
- Alfa
- Beta
- Superficie S
NECESARIO:
- Altura h
Para un algoritmo, necesito una forma de resolver esto para cualquier trapezoide. Algo así como esta pregunta ( Dado un trapezoide isósceles conocido, encuentre la altura de otro con los mismos ángulos y una base pero un área diferente ) pero no con la restricción isósceles.
Al igual que en esa pregunta, efectivamente tengo toda la información sobre un trapezoide más grande con ángulos idénticos y DC también, pero creo que la única ganancia que obtengo son los ángulos.
Han importado mi cerebro un tiempo ahora sin éxito. Saliendo de la fórmula para la superficie: S = h * ((AB + DC)/2) podría terminar con la fórmula: h = (2*S) / (AB + DC) Pero esto apenas ayuda porque no saber AB. Las fórmulas basadas en los ángulos también requerían siempre tanto DC como AB, o alternativamente las longitudes de los catetos.
Otra idea que tuve fue dividir el trapezoide en dos triángulos rectángulos y un cuadrado porque resolver el problema parece ser más fácil para cada uno en particular. Pero después de implementar la mitad de eso, me di cuenta de que no tengo forma de saber cuál sería el área de superficie deseada de cada figura...
¿Existe una solución conocida para esto? Enormes gracias de antemano!
Respuestas
Esto parece un problema que se resuelve mejor usando trigonometría. Considerar:
Dibujar una línea vertical hacia arriba desde$D$a un punto$E$en$AB$. Haz lo mismo hacia abajo desde$B$a$F$en$CD$.
Sabemos$\overline{DE}$y$\overline{BF}$son iguales a h.$\overline{BE}$y$\overline{DF}$son una distancia desconocida$d$.
Como notaste, el área es la suma del rectángulo y dos triángulos, que es$$S = dh + S(\Delta BFC) + S(\Delta ADE)$$
Y podemos encontrar nuestras longitudes para los nuevos segmentos
$$\overline{CF} = \frac{h}{\tan \beta}$$ $$\overline{AE} = h \tan (\alpha - 90°) = h \tan \gamma$$
Solo estoy lanzando gamma como sub para alfa - 90 ° allí para facilitar la lectura. Y todo esto significa$$ S = dh + \frac{1}{2}\frac{h^2}{\tan \beta} + \frac{1}{2}h^2 \tan \gamma $$
Bueno, esa es una ecuación en dos variables. Necesitamos al menos uno más. Afortunadamente sabemos la longitud$\overline{CD}$, y tiene que ser:
$$ \overline{CD} = d + \frac{h}{\tan \beta}$$
Dos últimas sustituciones dan
$$ S = h\left(\overline{CD}-\frac{h}{\tan \beta}\right) + \frac{1}{2}\frac{h^2}{\tan \beta} + \frac{1}{2}h^2 \tan \gamma $$
$$ S = h\cdot\overline{CD } + h^2\left(\frac{1}{2}\tan \gamma - \frac{1}{2 \tan \beta}\right)$$
Y no voy a pasar por la ecuación cuadrática con eso usando variables, así que ingrese sus números reales en este punto.
¡Espero que ayude! Sin embargo, voy a verificar rápidamente mis pasos.