Encuentre la mejor constante en este complejo problema de análisis

Question

Me encontré con un problema que me da problemas y es bastante interesante, pero no puedo hacerlo. Aquí va.

Dejar $(z_1, z_2, ... z_n)\in \mathbb{C^n}$, $J \subset$ {$1,2,..n$} para $\forall n \in \mathbb{N}$ y $ S_J := |\sum_{j \in J}z_j$|
Claramente$S_J\leq \sum_{j\in J}|z_j|\leq \sum_{j=1}^{n}|z_j|:=S$

Xa $n=2$, prueba que existe $J$, tal que $S_J\geq aS$ y $a\in \mathbb{R}$. Pruebalo$a=\frac{1}{2}$es la mejor constante.
Xa$n=3$, prueba que existe $J$, tal que $S_J\geq bS$ y $b\in \mathbb{R}$. Pruebalo$b=\frac{1}{3}$es la mejor constante.
¿Cuál es la mejor constante si$n\geq 4$ ?

Answer 1

Quieres escribir $\left|\sum_{j \in J} z_j\right|$ como $S_J$no $S_j$: $j$ es solo un "índice ficticio".

Xa $n=2$, $S_{\{1\}} + S_{\{2\}} = |s_1| + |s_2| = S$ entonces $\max(S_{\{1\}}, S_{\{2\}}) \ge S/2$. Similarmente para$n=3$, $\max(S_{\{1\}}, S_{\{2\}}, S_{\{3\}}) \ge S/3$, y en general $\max(S_{\{1\}}, \ldots, S_{\{n\}}) \ge S/n$.

Para ver eso $a = 1/2$ es la mejor constante para $n=2$, puedes tomar $z_1 = 1$ y $z_2 = -1$. Para ver eso$a=1/3$ es lo mejor para $n=3$, puedes tomar $z_1, z_2, z_3$ las tres raíces cúbicas de $1$.

No conozco las mejores constantes cuando $n > 3$.

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