Encuentre una fórmula para una transformación lineal [cerrado]
Encuentre un ejemplo de una fórmula de transformación lineal$\varphi$de modo que:
$$\ker\varphi = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\},$$ $$\operatorname{im}\varphi = \operatorname{span}((2,3,1))$$
¿Cómo abordar tal problema? Se aprecia la forma más estándar de hacerlo.
Respuestas
$\varphi$es una transformación lineal$\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^3$, entonces la matriz$A$representando$\varphi$(con respecto a la base estándar) es$3$por$4$. Ahora si$$\ker\varphi=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:x-y+6z+2t=0\}$$entonces todo en el núcleo de$A$es ortogonal a$(1,-1,6,2)$, así que establezcamos$$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ ?&?&?&?\\?&?&?&?\end{bmatrix}.$$Todavía no hemos terminado, porque no hemos especificado las entradas restantes. Pero esto no es difícil, porque sabemos$$\text{im}\varphi=\text{span}((2,3,1))$$lo que implica que todos los vectores columna son múltiplos escalares de$(2,3,1)$. Entonces, por ejemplo, la primera columna es solo$1/2$veces$(2,3,1)$, lo que da$$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&?&?&?\\1/2&?&?&?\end{bmatrix}.$$Continuando con esta lógica, podemos llenar las últimas tres columnas de manera similar, dándonos$$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&-3/2&9&3\\1/2&-1/2&3&1\end{bmatrix}.$$Ahora hemos terminado.
Observa eso$\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\}$es el conjunto de todos los vectores de la forma$$(y-6z-2t,y,z,t) = y(1,1,0,0) + z(-6,0,1,0) + t(-2,0,0,1)$$dónde$y,z$y$t$recorre todos los números reales. Entonces, elige un mapa lineal$\varphi : \mathbb R^4 \to \mathbb R^3$tal que$$\varphi(1,1,0,0) = \varphi(-6,0,1,0) = \varphi(-2,0,0,1) = 0$$y$\varphi(v) = (2,3,1)$para algunos$v \in \mathbb R^4$que no está en el lapso de$$\{(1,1,0,0),(-6,0,1,0),(-2,0,0,1)\}.$$
La siguiente matriz describe uno de estos:$\begin{pmatrix} 2&-2&12&4\\3&-3&18&6\\1&-1&6&2\end{pmatrix}$.