Entendiendo el enunciado y la demostración del teorema de Bertini en Griffiths y Harris

Question

Tengo problemas para entender el enunciado y la prueba del teorema de Bertini en el libro de Griffiths & Harris (p.$137$). Francamente, no entiendo una palabra incluso después de leer varias respuestas en la pila. el teorema es

El elemento genérico de un sistema lineal se aleja suavemente del lugar geométrico base del sistema.

primera pregunta ¿La declaración anterior se refiere a paquetes lineales de líneas generales en lugar de solo paquetes de líneas asociados a divisores?

Por lo que puedo decir, se refiere a un sistema lineal de un paquete de líneas asociado a un divisor. Dime si estoy equivocado.

Segunda pregunta . ¿Qué es el elemento genérico? ¿O cuál es el lápiz genérico?

En la demostración, los autores comienzan con " Si el elemento genérico de un sistema lineal es singular lejos del lugar geométrico base del sistema, entonces lo mismo será cierto para un lápiz genérico contenido en el sistema; por lo tanto, basta probar Bertini para un lápiz " .

Tercera pregunta . ¿Qué significa exactamente la frase anterior?

Ahora supongamos$\left \{D_{\lambda} \right \}_{\lambda \in \mathbb{P}^1}$es un lapiz

Cuarta pregunta . ¿Por qué escriben los autores?$D_{\lambda} = (f+\lambda g = 0)$? Qué hacer$f,g$significa aquí?

La última pregunta se relaciona con el grado de una variedad (p.$171$).

Bertini aplicado al locus liso de$V$el genérico$(n-k)$-plano$\mathbb{P}^{n-k} \subset \mathbb{P}^n$se cruzará$V$transversalmente y así se encontrarán$V$exactamente$\mathrm{deg}(V) = ^{\#}(\mathbb{P}^{n-k}.V)$puntos.

ultima pregunta que es generico$(n-k)$-¿plano? En este caso, ¿por qué se cruza$V$¿transversalmente?

Answer 1

1. En su configuración (una variedad compleja), todos los paquetes de líneas provienen de divisores y viceversa.

2. Un elemento genérico de un sistema lineal significa que en el$\mathbb P^r$Parametrizando miembros de ese sistema lineal, consideramos algún subconjunto abierto denso de$\mathbb P^r$. Los elementos genéricos son aquellos parametrizados por un punto en esa densa abertura. Un lápiz genérico parametrizado de manera similar por un punto en una apertura densa del Grassmannian$G(2,r+1)$de$2$-subespacios dimensionales de$H^0(L)$(dónde$L$es el haz de líneas).

3. La oración dice que cualquier comportamiento "malo" ocurrirá en un lápiz, por lo que no debemos preocuparnos por los sistemas lineales de dimensiones superiores.

4. quieren decir$f,g \in H^0(L)$, por lo que tomando combinaciones lineales de$f$y$g$da un lápiz.

5. Un plano genérico está parametrizado por un subconjunto abierto denso del Grassmannian apropiado. La transversalidad es porque la transversalidad es una condición abierta.