Entendiendo la prueba de$v\in S$tal que$v\in\text{span}(S\setminus \{v\}) \implies S$es linealmente dependiente.

Question

Entonces, estoy tratando de entender la prueba presentada por Titu Adreescu para el inverso del siguiente teorema:

Dejar$S$ser un conjunto de vectores en algún espacio vectorial$V$. Después$S$es linealmente dependiente si y solo si hay$v\in S$tal que$v\in\text{span}(S\setminus\{v\})$

La demostración de lo contrario es la siguiente:

Supongamos que hay$v\in S$tal que$s\in\texttt{span}(S\setminus \{v\})$. Eso significa que podemos encontrar$v_1, v_2, \dots, v_n \in S\setminus v$y escalares$a_1, \dots, a_n$tal que$v = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n$pero entonces$1\cdot v + (-a_1) v_1 + \dots + (-a_n) v_n = 0$y los vectores$v, v_1, \dots, v_n$son linealmente dependientes. Ya que$v \not\in \{v_1, \dots, v_n \}$, resulta que$S$tiene un subconjunto finito que es linealmente dependiente y por lo tanto$S$es linealmente dependiente. El resultado sigue.

Ahora, tengo la mayor parte de la prueba, pero creo que debería ser suficiente para concluir que S es linealmente dependiente de$1\cdot v + (-a_1) v_1 + \dots + (-a_n) v_n = 0$sin embargo, Titu va y argumenta que$S\setminus \{v\}$es un subconjunto linealmente dependiente de$S$(que no entiendo cómo se deduce de$v \not\in \{v_1, \dots, v_n \}$) y concluye usando eso para probar que$S$tener un subconjunto linealmente dependiente implica que S es linealmente dependiente.

Por favor, ayúdame a darle sentido a esta prueba. Gracias.

Answer 1

Dejar$v\in S$tal que$v\in \text{span}(S \setminus \{{v}\})$entonces existe$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$tal que

$$ v = \alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_n v_n, v_i \in S \setminus \{v\} $$

Creo que el hecho de que$v \notin \{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$sirve para ver que efectivamente$\{v,v_1,\ldots,v_n\}$es linealmente dependiente. ¿Por qué?, si algunos$v_i=v$suponer$v_1$tú tienes

$$ (1-\alpha_1)v_1 + \alpha_2 v_2 + \ldots + \alpha_n v_n = 0 $$

Y no podrías decir eso$\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$es linealmente dependiente.

Sin embargo, creo que es obvio que$\{v,v_1,\ldots,v_n\} \subseteq S$es linealmente dependiente porque ya te dicen que$v_i \in S \setminus \{v\}$.

Note que si$S$tener un subconjunto linealmente dependiente,$S$es linealmente dependiente.