Es cierto que $ \lim_{x\to0}\frac{f'\left(x\right)-\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}}{x}=\frac{f''\left(0\right)}{2} $ [duplicar]

Question

Dejar $ f $ ser una función tal que $ f'' $ existe en $ x=0 $.

¿Es cierto que:

$$ \lim_{x\to0}\frac{f'\left(x\right)-\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}}{x}=\frac{f''\left(0\right)}{2} ~~?$$

Estoy bastante seguro de que para que esto sea cierto, $ f'' $debe ser continuo, que no se da. Pero estoy luchando por encontrar un contraejemplo. Necesito encontrar una función que sea dos veces diferenciable, pero$ f'' $ no es continuo (asumiendo que entendí la situación).

Agradecería un poco de ayuda. Gracias por adelantado.

Answer 1

Puedes usar una expansión de Taylor: $$ f(x)=f(0)+xf'(0)+x^2f''(0)/2+x^2\sigma(x) $$ dónde $\lim_{x\to0}\sigma(x)=0$. Luego\begin{align} \frac{1}{x}\Bigl(f'(x)-\frac{f(x)-f(0)}{x}\Bigr) &= \frac{1}{x^2}\Bigl(xf'(x)-xf'(0)-x^2f''(0)/2-x^2\sigma(x)\Bigr)\\[6px] &=-\frac{f''(0)}{2}-\sigma(x)+\frac{f'(x)-f'(0)}{x} \end{align}No se necesita continuidad de la segunda derivada; uno solo necesita que la (primera) derivada exista en un vecindario de$0$ y es diferenciable en $0$.

Answer 2

Ya que

$${f'(x)-{f(x)-f(0)\over x}\over x}={f'(x)-f'(0)\over x}-{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}$$

y

$$\lim_{x\to0}{f'(x)-f'(0)\over x}=f''(0)$$

basta con demostrar que

$$\lim_{x\to0}{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}={f''0)\over2}$$

Esto se puede hacer con una sola aplicación de L'Hopital:

$$\lim_{x\to0}{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}=\lim_{x\to0}{f'(x)-f'(0)\over2x}={f''0)\over2}$$

(El paso final no es otra ronda de L'Hopital, es la definición de la segunda derivada. La única condición que L'Hopital requiere aquí es que la primera derivada se defina en una vecindad de $0$, que debe satisfacerse para $f''(0)$ existir.)