¿Es contable el conjunto de valores propios de un operador acotado en un espacio de Hilbert separable?

Aug 17 2020

El espectro de un operador a menudo es incontable, pero tenga en cuenta que la pregunta se refiere a valores propios .

Esto es bien conocido por los operadores autoadjuntos, pero no veo cómo el resultado se extiende más allá de ese caso.

La misma pregunta también tiene sentido para los espacios de Banach separables.

Respuestas

2 MikeF Aug 17 2020 at 03:12

La misma pregunta se hace y responde en mathoverflow aquí . El operador de cambio hacia atrás$T : \ell^2(\mathbb{N}) \to \ell^2(\mathbb{N})$ definido por $$T(a_0,a_1,a_2,\ldots) = (a_1,a_2,a_3,\ldots)$$hace el trabajo. Para cada$\lambda \in \mathbb{C}$ con $|\lambda|<1$, la secuencia geométrica $v = (1,\lambda,\lambda^2,\ldots)$ es cuadrado integrable y satisface $T v = \lambda v$.