Es $f(x,y)=\frac{xy^3}{x^2+y^6}$ diferenciable en $(0,0)$? [duplicar]

Question

¿Es la siguiente función diferenciable en $(0,0)$?

$$ \ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy^3}{x^2+y^6} & \text{if } (x,y) \ne (0,0), \\ 0 & \text{if } (x,y) = (0,0). \end{cases} $$

Encontré que ambas derivadas parciales son $0$y luego intentó calcular el siguiente límite:

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\frac{xy^3}{x^2+y^6}}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^3}{(x^2+y^6) \sqrt{x^2+y^2}}$$

Y luego me quedé atascado. Probé el teorema de la compresión, pero todavía no pude calcularlo.

¿Cómo puedo calcular este límite?

Answer 1

Ni siquiera es continuo en $(0,0)$. Insinuación: $f(y^3,y)=\dfrac12$ Si $y\ne0$.

Answer 2

Recordemos que la continuidad es una condición necesaria para la diferenciabilidad ya que la diferenciabilidad implica continuidad y por$y^3=v \to 0$ usando coordenadas polares tenemos

$$\frac{xy^3}{x^2+y^6}=\frac{xv}{x^2+v^2}=\cos\theta\sin \theta$$