Es $P(1)$ ¿cierto?
Recientemente descubrí esta prueba falsa por inducción de que todos los enteros positivos son iguales de The Mathematical Gazette :
Dejar $P(n)$ ser la proposición:
"Si el máximo de dos enteros positivos es $n$ entonces los enteros son iguales ".
Claramente $P(1)$es verdad. Asumiendo que$P(n)$ es cierto, suponga que $u$ y $v$ son enteros positivos tales que el máximo de $u$ y $v$ es $n + 1$. Entonces el máximo de$u - 1$ y $v - 1$ es $n$, forzando $u - 1 = v - 1$ por la validez de $P(n)$. Por lo tanto,$u = v$.
Veo esto, casi un duplicado: encuentre la falacia en el siguiente tratamiento , y lo entiendo, pero tuve una discusión con alguien. Dicen que el caso base$P(1)$es de hecho, no es cierto, porque, o los dos enteros ya son iguales, o son diferentes, y el único caso donde$P(1)$ es cierto es donde deben ser ya iguales, en cuyo caso no hemos probado nada.
Yo digo que el caso especial $n = 1$ obliga a que los números sean iguales, lo que hace$P(1)$ cierto.
¿Quién tiene razón?
Respuestas
El caso base es correcto. La falacia está en el paso de inducción cuando asume que$u-1$ y $v-1$ son números enteros positivos.