¿Es posible clasificar subespacios no cerrados del espacio de Hilbert?

Question

Dejar $H$ ser el espacio de Hilbert.

Motivado por mi pregunta anterior sobre los funcionales lineales tremendamente discontinuos , que puede interpretarse como un intento de clasificar los hiperplanos densos en$H$, déjame ir directo al grano:

Preguntas .

1. ¿Existen diferencias significativas entre hiperplanos densos en $H$?

2. Si $L$ y $M$ son dos hiperplanos densos en $H$, ¿hay un mapeo de operador unitario $L$ a $M$?

3. Suponiendo que la respuesta a (2) es negativa, ¿cuántas órbitas existen para la acción natural del grupo unitario? $\mathscr U(H)$ en el conjunto de hiperplanos densos?

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Hablando de subespacios generales (no necesariamente cerrados o densos) de $H$, hay algunas cosas que se pueden decir al respecto.

Por ejemplo, no todos estos espacios pueden describirse como el rango de un operador acotado y, en particular, ningún hiperplano denso califica. Esto se debe a que, si el rango de dicho operador tiene una co-dimensión finita, debe cerrarse (esto se deduce fácilmente del Teorema de gráfico cerrado).

El rango de un operador compacto no contiene ningún subespacio cerrado de dimensión infinita, por lo que es otra propiedad que se podría usar para clasificar subespacios.

Más preguntas .

1. ¿Existe una condición necesaria y suficiente, expresada en términos topológicos / analíticos, que caracterice el rango de un operador acotado (resp. Compacto) entre todos los subespacios de $H$?

2. ¿Cuántas clases de equivalencia unitaria de subespacios no cerrados de $H$¿hay? ¿Cuántos de estos pueden describirse en términos topológicos / analíticos?

Answer 1

Supongo que tengo una respuesta simple a la pregunta 4, en el caso compacto: un subespacio de dimensión infinita $E\subseteq H$ es el rango de un operador compacto si existe un conjunto ortogonal (en oposición a ortonormal) $\{e_n\}_{n\in {\mathbb N}}\subseteq E$, tal que $$ \lim_{n\to \infty }\Vert e_n\Vert = \infty , $$ y $$ E=\Big\{\xi \in \overline{\text{span}\{e_n\}}: \sum_{n=1}^\infty \big|\langle \xi , e_n\rangle \Big|^2<\infty \Big\}. $$ Esto se desprende fácilmente del Teorema espectral para operadores compactos y del hecho de que el rango de un operador compacto $T$ coincide con el rango de $|T|$.