¿Es posible encontrar un número entero (no cuadrado) que sea un módulo de residuos cuadráticos en una lista infinita dada de números primos?

Question

Me pregunto si es posible, dado un número primo p y una lista infinita de números primos.$q_1$,$q_2$, ... para encontrar un entero d que (1) no es un cuadrado mod p, pero (2) es un cuadrado mod$q_i$por todo yo ¿Siempre Algunas veces Nunca? Probablemente a veces --- ¿cuáles son algunas condiciones? En la aplicación que tengo en mente, el$q_i$son todos los divisores primos de los números$p^{2^n}-1$como n varía de 1 a infinito, pero eso es algo flexible.

(La aplicación, por cierto, implica tomar una interpolación p-ádica de exponenciación de números enteros racionales y extenderla a anillos de números enteros en torres de campos numéricos).

[ETA: olvidé mencionar que d también debe ser un cuadrado mod 8 para la aplicación, lo que descarta la respuesta de -1 que se da a continuación.]

• Para una lista finita, d puede construirse usando el teorema chino del resto, pero eso no parece ayudar aquí.

• Dado d, la reciprocidad cuadrática da un conjunto infinito de números primos para los cuales d es un cuadrado, pero primero necesito especificar los números primos.

• Grunwald-Wang dice, si lo entiendo bien, que la condición (1) implica que d no es un módulo cuadrado$q$para infinitos números primos$q$, pero no dice nada sobre los números primos para los que d es un cuadrado.

• El teorema de la densidad de Chebotarov parece implicar que el conjunto de posibles d tiene densidad cero, pero no descarta (ni implica) que exista tal d.

¡Gracias por cualquier ayuda, fuente o consejo!

----José

Answer 1

Depende de la lista dada de números primos. Una condición más simple pero necesaria es que haya una$d$de modo que todos los números primos de la lista (mayores que$d$) se concentran en unas pocas clases de congruencia$\bmod 4d.$Podemos ceñirnos a los divisores primos impares ya que todo es un residuo cuadrático$\bmod 2.$

Si la lista es todos primos congruentes con$1 \bmod 4$después$-1$es un residuo cuadrático común. Eso probablemente no parece muy emocionante.

Si la lista son todos los divisores primos impares de$3^{2^n}-1$como$n$rangos sobre los enteros positivos entonces$-1$es de nuevo un residuo cuadrático común. Ese es el tipo de cosas que estabas mencionando. Pero la razón es que todos esos números primos son$1 \bmod 4$

Si no me equivoco, y por la misma razón,$-1$es un residuo cuadrático común de de los divisores primos de$p^{2^n}-1$como$n$rangos sobre los enteros que comienzan en$2.$

Para ciertos números primos, como$5,7,17,19,31,53,59$podemos expandir la lista a todos los divisores primos de$p^{2^n}-1$con la excepción de$3.$En general, es suficiente descartar cualquier divisor de$p^2-1$cuales son$3 \bmod 4.$

Los hechos detrás de esto son

• $p^{2^n}-1=(p-1)(p+1)(p^2+1)(p^4+1)\cdots(p^{2^{n-1}}+1)$
• cada factor impar de$p^{2^m}+1$es de la forma$2^{m+1}q+1$
• $-1$es un residuo cuadrático para números primos que son$1 \bmod 4.$

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Piensa primero en esta pregunta (fácil). para fijo$d$cuales son los primos impares$q$tal que$d$es un residuo cuadrático$\bmod q?$Llame a este conjunto$G_d.$Podemos suponer que$d$es cuadrado.

Entonces los miembros de$G_d$son los divisores primos de$d$junto con esos primos en una unión de ciertas clases de congruencia$\bmod 4d.$la mitad de las clases$(r \bmod 4d)$con$\gcd(r,4d)=1$

En algunos casos ($d$incluso o$d$impar con todos los divisores$1 \bmod 4$) es suficiente considerar clases de congruencia$\bmod 2d$. Sin embargo, lo que está escrito sigue siendo correcto. ignoraré tu$p$en el supuesto de que el objetivo era descartar$d$siendo un cuadrado.

Entonces lo específico$d$funciona para una instancia particular de su problema, precisamente si la lista elegida es uno de los innumerables subconjuntos infinitos de$G_d.$

Por otro lado, supongamos que se da que los miembros de la lista (aparte de los divisores de$d$en la lista, si los hay) se eligen de algunos$k \ll \phi(d)$de las clases de congruencia$\bmod 4d$. Entonces, si el$k$se eligen al azar, la probabilidad de que$d$funcionará es menos que$2^{-k}$.

Así que a partir de una lista$\mathbf{q}=q_1,q_2,\cdots$la primera pregunta es "¿Hay alguna razón para sospechar que hay un$M$para que todos los miembros de$\mathbf{q}$(principal a$M$) se concentran en algunas de las clases de congruencia$\bmod M?$"Si eso no sucede, entonces no hay esperanza. Si sucede por un cierto$M,$entonces las posibilidades aún pueden ser bajas.

Así que depende mucho de dónde$\mathbf{q}$viene de.

Por cierto, el problema de encontrar un$d$que es un no residuo cuadrático relativo a todos$q \in \mathbf{q},$es igualmente difícil.