¿Es posible escribir un espacio métrico como una unión disjunta contable de conjuntos compactos?
Dejar$ (X,d)$Sea un espacio métrico y sea$\mu $ser un radón$\sigma$-medida finita en el Borel$\sigma$-álgebra. Leí que es posible encontrar conjuntos compactos disjuntos contables$\lbrace K_n\rbrace_{\mathbb{N}}$y un$\mu$-conjunto nulo$N$tal que$$ X=\bigcup_{\mathbb{N}}K_n\cup N. $$
He intentado alcanzar algunos resultados usando la regularidad interna de$\mu$, pero nada. ¿Es cierta esta afirmación? ¿Cómo puedo probarlo?
Respuestas
La suposición clave aquí es que$\mu$es una medida de Radon, lo que significa que es regular interna con respecto a los conjuntos compactos . Sin esta suposición, esto no es cierto, ni siquiera si$\mu$es finito (por ejemplo, hay espacios métricos que admiten medidas continuas en las que todos los conjuntos compactos son finitos).
Escribe$X=\bigcup_n X_n$, donde cada$X_n$son Borel disjuntos y de medida finita. Luego recursivamente, elija un compacto$K_{n,m}\subseteq X_n\setminus \bigcup_{m'<m} K_{n,m'}$tal que$\mu((X_n\setminus \bigcup_{m'<m} K_{n,m'})\setminus K_{n,m})<1/m$. Después$X_n\setminus \bigcup_{m} K_{n,m}$es nulo, y por lo tanto$X\setminus\bigcup_{n,m} K_{n,m}$es nulo, y$K_{n,m}$son claramente disjuntos.