¿Es una curva de superficie hecha de puntos planos necesariamente una línea?

Question

Tengo problemas para probar la siguiente afirmación, que al principio me pareció intuitivamente verdadera.

Dejar$S$ser una superficie en$\mathbb{R}^{3}$. Supongamos que hay una curva$\gamma$en$S$cuyos todos los puntos son planos, es decir, la segunda forma fundamental$\alpha$(o, de manera equivalente, el operador de forma) de$S$desaparece en todos los puntos de$\gamma$. ¿Esto implica que$\gamma$es parte de una recta?

Esta pregunta está relacionada con la existencia de curvas asintóticas no rectas en$S$. Es bien sabido que una curva$\gamma$tal que$\alpha(\dot{\gamma},\dot{\gamma})=0$no tiene por qué ser parte de una línea recta.

EDITAR: Como señaló Arctic Char, la afirmación no es cierta en general. ¿Qué sucede si asumimos que, para cada vecindario abierto$U$(en$S$) de la curva$\gamma$, no hay avion$P$tal que$U \subset P$?

Answer 1

Tomemos por ejemplo la superficie parametrizada por$$ x(u,v) = (u, v, (u^2-v)^3). $$Es fácil ver que las segundas derivadas$x_{uu}$,$x_{uv}$,$x_{vv}$son cero a lo largo de la curva$v = u^2$, y por lo tanto el operador de forma desaparece a lo largo de esta curva. Sin embargo, la curva es una parábola en el$xy$-plano, no una línea recta.