Es $x$ un elemento algebraico sobre el campo de funciones racionales $K(x)^p$?

Dec 25 2020

La pregunta es $x \in K(x)$ un elemento algebraico sobre el campo $K(x)^p$?

Editar: dejar $K$ ser un campo con char ($K)=p>0$ y deja $K(x)$ ser el campo de las funciones racionales sobre $K$.

Mi intento: básicamente intenté responder esto refiriéndome a:

Campo $K (x)$ de funciones racionales sobre $K$, el elemento $x$ no tiene $p$la raíz.

Supongamos por el contrario que $x$ es algebraico sobre $K(x)^p$, y entonces $x$ es una raíz de algunos $p$polinomio de grado tal que; $(\frac{f(x)}{g(x)})^p -x = 0$

$f(x)^p=g(x)^p * x$

Aquí vemos la contradicción ya que los grados de $f(x)^p= deg(f(x)*p)$ y $g(x)^p*x = \deg(g(x)*p+1)$.

Estoy totalmente perdido en esto, he estado usando la cuarta edición de Álgebra abstracta de Beachy y casi no se menciona el campo de los racionales. Cualquier sugerencia y tal vez sugerencia sobre recursos donde pueda encontrar más información sobre el campo de los racionales sería muy apreciada, ¡gracias!

Respuestas

4 CPCH Dec 25 2020 at 02:53

$x$ es de hecho algebraico sobre $K(x)^p$ (tenga en cuenta los comentarios a la pregunta, solo necesitamos que $x^p\in K(x)^p$. Creo que puede resultarle confuso en qué anillo estamos tratando de encontrar polinomios que tengan$x$como raíz. Para solucionar este problema de notación, llamemos$F:=K(x)^p$.

Ahora $x$ es algebraico sobre $F$ si hay algún polinomio $g\in F[Y]$ S t $g(x)=0$. Veamos el polinomio$g=Y^p-x^p$. Lo sabemos$x^p\in F$, entonces $g\in F[Y]$. Claramente también$g(x)=x^p-x^p=0$, entonces $x$ es algebraico sobre $F$.

4 Lubin Dec 25 2020 at 02:59

Supongo que te refieres a $K$ tener característica $p>0$. Tal vez te arroje la posibilidad de que$K$ no es perfecto, en cuyo caso $\bigl(K(x)\bigr)^p$ es diferente de $K(x^p)$. Sin embargo, no se preocupe: para nuestros propósitos, no importa.

Consideremos su campo de campo $\mathscr L=\bigl(K(x)\bigr)^p$, en el que hay un elemento $x^p$. Llamaré a este elemento$t$. Observamos que hay un isomorfismo de campo$\varphi:K(x)\to\mathscr L$, por $\varphi(f)=f^p$. Y la imagen del elemento$x$ de $K(x)$ es $t\in\mathscr L$; Tal como$x$ no tiene $p$-th raíz en $K(x)$, entonces $t$ no tiene $p$-th raíz en $\mathscr L$. Por lo tanto, la$\mathscr L$-polinomio $X^p-t$ es irreducible$\dagger$). Tiene una raíz de respaldo en$K(x)$, aunque, a saber $x$. Y ahí estás.

($\dagger$) He utilizado el hecho de que en un campo $k$ de característica $p$, $X^p-b$ o tiene una raíz en $k$ o es $k$-irreducible.