¿Estoy haciendo correctamente las fórmulas de Vieta?

Dec 06 2020

Me han dado este ejercicio: $x^2 - (m+3)x + m + 2$, Se supone que debo verificar qué valores reales del parámetro $m$ se puede utilizar para que esto funcione:

$1/x_1 + 1/x_2 > 1/2$ (Multiplico ambos lados por 2x1x2) y obtengo lo siguiente:

$2(x_1 + x_2) -x_1x_2 > 0$

que resulta a $m > -4$ usando las fórmulas de Vieta

Luego tengo otro argumento, $x_1^2 + x_2^2 < 5$

Después de resolver lo entiendo $m$ está en el intervalo $(-4,0)$

Mi libro me dice el resultado final de posibles $M$ las soluciones están en el intervalo $(-2,0)$.

¿Qué estoy haciendo mal?

Respuestas

2 LukeCollins Dec 06 2020 at 07:24

No puedes multiplicar por $x_1x_2$ ya que no sabe si es una cantidad positiva o negativa (recuerde que el signo de la desigualdad tendría que cambiar si fuera negativo y permanecer igual en caso contrario).

Recuerda lo que te dicen las fórmulas de Viete, que $x_1+x_2 = m+3$ y eso $x_1x_2 = m+2$. Puede usar estos si simplifica el lado izquierdo:$$\frac 1{x_1} + \frac1{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \frac{m+3}{m+2},$$ así que quieres asegurarte de que $m$ es tal que $$\frac{m+3}{m+2}>\frac12.$$ No podemos multiplicar todo por $m+2$ya que no conocemos su signo. Podemos multiplicar por$(m+2)^2$, esto seguramente no es negativo. Esto nos da$$(m+3)(m+2)>\frac12(m+2)^2$$ lo cual simplifica a $$(m+2)(m+4)>0.$$ Un producto de dos números es $>0$ o si son ambos $>0$, o si son ambos $<0$.

En el primer caso (cuando $m+2$ y $m+4$ ambos son positivos), tenemos $m>-2$ y $m>-4$, que es simplemente equivalente a decir $m>-2$.

En el segundo caso (cuando ambos son negativos), tenemos $m<-2$ y $m<-4$, que es lo mismo que decir que $m<-4$.

Entonces, en resumen, su condición es equivalente a decir que $$\boxed{\text{$m <-4$ or $m> -2$}}.$$

2 NeatMath Dec 06 2020 at 08:02

En las desigualdades, suele ser una buena idea combinar las fracciones si no está seguro de sus signos. Para ver ejemplos, consulte aquí y aquí .

Ahora $$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} > \frac 12 \iff \frac{2x_2+2x_1-x_1 x_2}{2x_1 x_2} >0 \\ \iff \frac{2(m+3)-m-2}{2(m+2)} = \frac{m+4}{2(m+2)}>0 \iff (m+2)(m+4) > 0 \\\iff m \in (-\infty, -4)\cup (-2, \infty)$$ Y $$x_1^2+x_2^2 < 5 \iff (x_1+x_2)^2-2x_1 x_2 < 5 \\\iff (m+3)^2-2(m+2)-5 = m(m+4) < 0\\ \iff -4<m<0 $$

Por lo tanto $-2<m<0$.