Evaluar$\lim_{x\to-2}(3x^4+2x^2-x+1)$
$$\lim_{x\to-2}(3x^4+2x^2-x+1)$$
Tengo que evaluar este límite sin usar 'ideas de continuidad'. Así que supongo que no puedo sustituir$-2$en la función y encontrar el límite, ¿puedo? ¿Cómo hago para encontrar este límite entonces?
Respuestas
podemos adivinar que$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)=59$y para probar esto podemos usar la definición para mostrar que$\forall \varepsilon>0 \: \exists \delta>0 \:\forall x\: |x-(-2)|=|x+2|<\delta$tenemos
$$|3x^4+2x^2-x+1-59|=|x+2||3x^3-6x^2+14x-29|\le \varepsilon$$
entonces asume wlog$|x+2|<1$eso es$-3<x<-1$después
$$|x+2||3x^3-6x^2+14x-29|\le \delta|3x^3-6x^2+14x-29| \le 206 \,\delta$$
ya que$f(x)=x^3-6x^2+14x-29$es estrictamente creciente negativa para$x\in[-3,-1]$y$|f(-3)|=206$, entonces basta con suponer
$$\delta \le \frac{\varepsilon}{206}$$
Consulte también los relacionados
- Encontrar un "adecuado"$\delta$dado un límite
- Una pregunta sobre (ε, δ)-definición de límite
Desde eso$$lim_{x \to -2} 3x^{2}=3(-2)^{4},$$ $$\lim_{x\to -2}2x^{2}=2(-2)^{2},$$ $$\lim_{x\to -2}-x=-(-2)$$y$$\lim_{x \to -2}1=1$$Por lo tanto, puede concluir que$$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)$$existe y también$$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)=3(-2)^{4}+2(-2)^{2}-(-2)+1=59.$$
Tenga en cuenta que solo necesita la propiedad de los límites.