Evaluar un límite de secuencia de probabilidades

Question

Dejar$X_1, X_2, \ldots$sea ​​una secuencia de variables aleatorias iid con distribución concentrada en$[1,\infty)$y segundo momento finito. Asumimos que$a=E\ln X_1$,$\sigma^2=\operatorname{Var}\ln X_1$.

Cómo evaluar un límite de secuencia de probabilidades$$\Pr\left(\prod_{i=1}^{n}X_i\leq \left(\prod_{i=1}^{n}X_i^2\right)^{\frac{1}{\sqrt n}}e^{na}\right) ? $$No tengo idea de cómo empezar. Supongo que puede estar asociado con el Teorema del Límite Central, pero no estoy seguro.

Answer 1

Tomando logaritmos y dejando$Y_{i} = \ln(X_{i})$:

$$\prod_{i=1}^{n}X_i\leq \left(\prod_{i=1}^{n}X_i^2\right)^{\frac{1}{\sqrt n}}e^{na}$$

$$\begin{align} &\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq \frac{2}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} + na\\ &\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n} (Y_{i}-a) - \frac{2}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq 0 \\ &\Longleftrightarrow A_{n} \equiv \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} (Y_{i}-a) - \frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq 0 \end{align}$$

El primer término converge en distribución a$N(0, \sigma^{2})$por el teorema del límite central, y el segundo término converge en probabilidad a$-2a$por la ley débil de los grandes números, por lo tanto$A_n$converge en distribución a$N(-2a, \sigma^{2})$.

$$\mathbb{P}(A_{n} \leq 0 ) \rightarrow \Phi\left(\frac{2a}{\sigma}\right)$$

Dónde$\Phi$es la CDF normal estándar.