¿Existe siempre una función? $ f $ para cual $ Y - f ( X ) $ y $ X $ son independientes?

Aug 15 2020

Dejar $ X $ y $ Y $ Ser variables aleatorias reales.

¿Existe siempre una función? $ f $ para cual $ Y - f ( X ) $ y $ X $ son independientes?

Traté de probar la afirmación, pero no pude.

Si la afirmación es falsa, deben existir variables aleatorias $ X $ y $ Y $ tal que para cualquier función $ f $, $ Y - f ( X ) $ y $ X $no son independientes.

Pero tampoco pude encontrar ese par de variables aleatorias $ X $ y $ Y $.

¡Agradecería cualquier consejo o sugerencia!

Respuestas

3 SherwinLott Aug 16 2020 at 01:54

No, pero existe un $f(X)$ de tal modo que no estén correlacionados.

Dos variables $X$ y $Y$ son independientes si la distribución de probabilidad de $Y|X$ no depende de $X$. Considerar$Y|X \sim N(0, X^{2})$, luego $Y-f(X)|X \sim N(-f(X), X^{2})$ que todavía depende de $X$ para cualquier función $f$.

Si definimos $E[f(X)]$ así que eso $Cov(f(X), X) = Cov(Y,X)$, luego $Cov(Y-f(X), X) = 0$. Por ejemplo, deja$f(X) = \frac{Cov(Y,X)}{Var(X)} X$ ser lineal.

1 NateEldredge Aug 16 2020 at 01:55

Dejar $\Omega = \{a,b,c\}$ ser un espacio de probabilidad con tres resultados, cada uno con probabilidad $1/3$. Dejar$X = 1_{\{a\}}$ y $Y = 1_{\{b\}}$. Puedes comprobar que si$A,B$son eventos independientes en este espacio, entonces uno de ellos debe tener probabilidad 0 o 1; como resultado, cualquier variable aleatoria independiente de$X$debe ser constante. Pero$Y-f(X)$ nunca puede ser constante, ya que necesariamente tomará valores diferentes en $b$ y $c$.