¿Existe una forma estándar de equipar un sigma-álgebra con un sigma-álgebra?

Question

Suponer $(X, \mathcal X)$es un espacio medible. Me gustaría decir algo sobre las funciones medibles que toman valores en$\mathcal X$, pero para hacer eso, necesito $\mathcal X$ estar equipado con un sigma-álgebra.

¿Existe una forma canónica de equipar $\mathcal X$ con un sigma-álgebra $\mathcal F_\mathcal X$ para que podamos hablar de funciones medibles de $(X, \mathcal X)$ a $(\mathcal X, \mathcal F_\mathcal X)$?

Algunas ideas que se me ocurrieron:

(1) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X\}$. Pero no veo que esto se cierre bajo complementos.

(2) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X \ \text{or} \ \bigcap A \in \mathcal X\}$. Pero no veo que esto esté cerrado bajo uniones contables.

Answer 1

Hasta donde yo sé, no existe un enfoque estándar para construir una estructura tan medible.

Necesitábamos algo así para algún trabajo que generalizara los procesos de decisión de Markov (visto desde el punto de vista de la informática) con “no determinismo”. Puede consultar la referencia en arXiv ( DOI ).

La definición que hizo el trabajo por nosotros fue declarar un subconjunto de $\mathcal{X}$ medible si está en el $\sigma$-álgebra $H(\mathcal{X})$ generado por los conjuntos $H_\xi := \{\theta\in \mathcal{X} : \theta \cap \xi \neq \varnothing\}$, dónde $\xi$ se extiende sobre $\mathcal{X}$. Esto está motivado principalmente por la construcción del hiperespacio medible de subconjuntos cerrados de un espacio topológico.

En realidad, restringiendo a un subconjunto adecuado de $\mathcal{X}$ parece más sensato, ya que el resultado $\sigma$-El álgebra es enorme: si mal no recuerdo, una vez $X$ es infinito y $\mathcal{X}$ separa puntos, luego $H(\mathcal{X})$ no se puede generar contablemente.