¿Existe una función verde para el p-laplaciano?

Question

La función de Green está definida para un operador diferencial lineal $L$ como la solución de la ecuación $LG = \delta$, dónde $\delta$es la función delta de Dirac. Una consecuencia directa de la definición de$G$ es que la solucion del problema $Lu = f$ es la convolución $G*f$, dónde $G$ es la función de Green.

Me interesa saber si existe una solución a la ecuación: $$ \Delta_p G = \delta $$ en algún dominio limitado $\Omega$ con alguna condición de frontera, donde $\Delta_p$ es el $p$-Laplaciano definido por: $$ \Delta_p u = div (|\nabla u|^{p-2}\nabla u), $$ con $p\neq 2$ (el caso $p=2$es el laplaciano). Sé que no podré construir soluciones al problema.$\Delta_p u = f$ por la convolución $G*f$, porque $\Delta_p$ es no lineal.

No encontré ningún trabajo sobre este problema, así que creo que tal vez sea un problema muy difícil o tal vez sea bien sabido que no existe una solución. Le agradecería si me aclarara este tema.

Answer 1

Dejar $\omega_d = |\mathbb{S}^{d-1}| = \frac{2\,\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}$ y $p>\frac{d-1}{d+1}$ verificar $p\neq d-1$. Una solución de la ecuación$$ \Delta_p u = \delta_0 $$ en $\mathbb{R}^d$ es $$ u = \tfrac{p}{p+1-d} \frac{1}{\omega_d^\frac{1}{p}\,|x|^{\frac{(d-1)}{p}-1}}. $$ Como dices, esto no es útil para resolver la ecuación con el otro lado derecho, ya que $\Delta_p$no es lineal. Por lo tanto, no la llamaría función verde.

Observación: cuando$p=d-1$, el mismo procedimiento dará $u = C\,\ln(|x|)$.

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Prueba: para tal función$u$, de hecho, uno tiene $$ ∇u = \frac{x}{\omega_d^\frac{1}{p}\,|x|^{\frac{d-1}{p}+1}} $$ así que eso $$ |∇u|^p = \frac{1}{\omega_d\,|x|^{d-1}} = \left|\frac{x}{\omega_d\,|x|^{d}}\right| = |∇G_1| $$ dónde $G_1 = \frac{-1}{(d-2)\,\omega_d\,|x|^{d-2}}$ es la solución de la ecuación de Laplace $\Delta G_1 = \delta_0$. Por tanto, dado que$|∇u|^{p-1}∇u$ y $∇G_1$ son paralelos, de la misma dirección y de la misma norma, deducimos $|∇u|^{p-1}∇u = ∇G_1$, así que eso $$ \Delta_p u = \mathrm{div}(|∇u|^{p-1}∇u) = \mathrm{div}(∇G_1) = \Delta G_1 = \delta_0. $$