Existencia de límites finitos de módulos cuasi-coherentes en un esquema
Definición de un módulo cuasi-coherente$\mathcal{M}$en un esquema$X$ser una familia compatible de módulos$(\mathcal{M}(x))_{x \in X(A), A \in \textbf{Rings}}$(como aquí ), ¿hay una manera directa de mostrar la existencia de límites (finitos) (y que forma una categoría abeliana)?
Una forma posible, por supuesto, debería ser mostrar que esta definición da lugar a una categoría equivalente a la categoría de haces de módulos cuasi-coherentes en el pequeño sitio Zariski asociado a$X$, pero eso se siente como una solución bastante sucia.
El problema, supongo, es que tomar pullbacks de haces de módulos (generalmente) no conmuta con tomar límites, por lo que el límite no se define "en forma de fibra"; colimits funciona bien exactamente por esa razón.
Otro argumento que me explicó un amigo mío parece ser que, denotando la categoría de módulos definida de la manera anterior como$\textbf{Mod}(X)$, uno tiene
$$\textbf{Mod}(X) = \varprojlim_{A \in \textbf{Aff}/X} \textbf{Mod}(A)$$
donde el ($2$-)el límite se toma en el$(2,1)$-categoria de categorias, funtores e isomorfismos naturales.
Ahora el argumento sería que$\textbf{Mod}(A)$es una categoría localmente presentable, (¿cierto?) los límites de las categorías localmente presentables son localmente presentables, y las categorías localmente presentables admiten límites arbitrarios.
Todavía me preguntaba si no habría una forma más elemental de, por ejemplo, construir directamente kernels y productos finitos de módulos cuando se define de esta manera.
¡Apreciaría cualquier idea!
//Editar: Ok, otra forma parece ser mostrar primero que uno puede pegar módulos cuasi-coherentes a lo largo de las cubiertas de Zariski y luego hacer todo localmente. Supongo que eso está bien para mí, ¡pero aún estaría interesado en ver otros argumentos elementales si alguien tiene uno!
Respuestas
Aquí está la declaración precisa a la que se alude en los comentarios:
Dejar$C = \lim_i C_i$ser un límite de categorías con proyecciones$\pi_i : C \to C_i$. Dejar$\{X_j\}_j$ser un diagrama en$C$. si por cada$i$el diagrama inducido$\{\pi_i(X_j)\}_j$en$C_i$tiene un límite$X_i$, y los funtores de transición$C_i \to C_{i'}$enviar$X_i \mapsto X_{i'}$por cada morfismo$i \to i'$en la categoría de indexación, entonces el diagrama original$\{X_j\}_j$en$C$admite un límite$X$tal que$\pi_i(X) = X_i$para cada$i$.
Por ejemplo, si$X$es un esquema, entonces cuasi-coherente$O_X$-los módulos se pueden definir como lo hizo, excepto que puede requerir los mapas$Spec(A) \to X$ser inmersiones de Zariski (ya que$X$es un esquema). Luego, los funtores de transición son retrocesos a lo largo de inmersiones abiertas que son exactas, por lo tanto, conservan límites finitos.
Alternativamente por descenso, puede tomar una cubierta Zariski de$X$por afines$U_i$, después$Mod(X)$será un límite de$Mod(U_i)$y de las intersecciones (similar a la condición de gavilla habitual excepto que hay que ir a las intersecciones de 3 vías ya que es una gavilla de categorías). Nuevamente, puede aplicar el mismo argumento para decir que los límites se calcularán en el$U_i$'s.
Así que yo era un amigo de exuberante que originalmente había hecho esta pregunta, y tenía algunas preocupaciones, específicamente porque di la misma respuesta que Riza, luego me di cuenta de que daba respuestas incorrectas si seguías la construcción directa de nLab. El punto es que el límite de un diagrama en el límite debe calcularse primero en el límite laxo como se indicó anteriormente, luego debe aplicar un correflector en el límite real.
Por ejemplo, si tengo un cuadrado cartesiano de categorías presentables localmente
$$\begin{matrix} P&\xrightarrow{f^\prime_!}&C_1\\ g^\prime_!\downarrow &\ulcorner&\downarrow g_!\\ C_2&\xrightarrow{f_!}&C_0 \end{matrix}$$
y un diagrama$d:D\to P$, puedo calcular$P$como una colocalización del límite laxo de este diagrama (la categoría de secciones no necesariamente cartesianas de la fibración cartesiana asociada sobre la categoría de tramo$\operatorname{Span}$). Denotemos este límite laxo por$L$. Entonces tenemos un complemento$P\leftrightarrows L$, donde la izquierda adjunta$P\to L$es totalmente fiel. Esto nos dice que el límite en$P$se calcula como la imagen bajo el correflector$L\to P$del límite en$L$, que en realidad es el límite puntual junto con los mapas de conexión
$$g_! \lim (f^\prime_! \circ d)\to \lim (g_! \circ f^\prime_! \circ d)=\lim (f_! \circ g^\prime_! \circ d) \leftarrow f_!\lim(g'_!\circ d).$$
Entonces, para formar el límite verdadero, tengo que aplicar el correflector a este diagrama formal (visto como un objeto del límite laxo).
Esto le da una fórmula para calcular el límite ahora de dicho diagrama, pero la existencia real de los límites se deriva del hecho de que este producto de fibra es presentable (además de que los productos arbitrarios aún son presentables).
Para terminar de resolver el ejemplo, el coreflector luego te da el producto de fibra en$P$
$$ \lim(f^{\prime \ast}\lim (f^\prime_! \circ d)\to f^{\prime\ast}g^\ast\lim (g_! \circ f^\prime_! \circ d)=g^{\prime\ast}f^\ast\lim (f_! \circ g^\prime_! \circ d) \leftarrow g^{\prime\ast}\lim(g'_!\circ d)).$$
pero para que esta fórmula tenga sentido, primero necesitaba saber que los límites en$P$existió, y eso es porque$\operatorname{Pr}^L$admite límites que concuerdan con límites en$\mathbf{Cat}$.
Nota: he usado la convención categórica para los adjuntos izquierdo y derecho (chillido inferior y estrella superior, en lugar de estrella superior e inferior) en$\operatorname{Pr}^L$en lugar de la convención algebro-geométrica, porque es más clara en este caso.
Editar: Parece que la pregunta de Lujuria aquí fue ligeramente diferente de la que discutimos en privado. Mi error. La respuesta de Riza es correcta para cubiertas planas (este es un teorema, pero es completamente obvio para inmersiones abiertas, como se desee).