Expansión asintótica de la función hipergeométrica${}_3F_2$para grandes parámetros

Question

Encontré la siguiente función hipergeométrica en mi investigación:$${}_3F_2(2,1+n,1+n;1,2+n;z)$$dónde$0<z<1$. Estoy interesado en su comportamiento para grandes$n$. El gráfico semilog sugiere un aumento exponencial en$n$, sin embargo, tengo problemas para derivar la expresión de la expansión asintótica. Hay muchas referencias al volumen de 1969 de Yudell Luke. Lo escaneé en vano para obtener un resultado que se ajuste a la fórmula anterior. Soy un simple informático y no estoy familiarizado con la literatura sobre funciones hipergeométricas (que parece bastante extensa). Apreciaría cualquier ayuda.

Answer 1

A continuación se muestra una evaluación de forma cerrada en términos de funciones simples. Dejar$y=z/(z-1).$Después$${}_3F_2(2,n,n;1,n+1;z)=n(-z)^{-n}\Big((n-1)\big(\log(1-y)+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{y^k}{k} \big) + y^n \Big)$$Probé esto usando las propiedades del símbolo de Pochhammer, lo que me lleva a una combinación lineal de${}_2F_1.$Luego usé una transformación lineal para obtener del argumento$z$a$y.$Esa serie se puede manipular para dar el logaritmo y una suma finita. Variable$y$siempre es negativo, pero si es pequeño, la suma convergerá rápidamente. Si pones esto en una computadora, ten cuidado con los negativos grandes.$y,$que ocurre por$z$cerca de 1. En la suma finita, probablemente agregaría términos por pares. Si el$z\sim 1$caso es su caso más importante, entonces probablemente valga la pena pensar en esto un poco más.

Añadido: La suma de$z\sim 1$se puede realizar mediante una expansión que se encuentra en 'Expansiones asintóticas pertenecientes a las series logarítmicas y sumas trigonométricas relacionadas', G. Fikioris & P. ​​Andrianesis, J. Class. Análisis vol 7 #2, (2015) 113-127.$$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{y^k}{k} \sim y^n\sum_{k=0}^\infty \frac{A_k(y)}{(y-1)^{k+1}} \frac{1}{n^{k+1}} \, ,n \to \infty $$donde el$A_k(y)$son los polinomios eulerianos y comienzan con$A_0(y)=1$y$A_1(y) = y.$