Explicación de la prueba 1.3.4 de Shakarchi en el Análisis de pregrado de Lang
Actualmente estoy trabajando en el Análisis de pregrado de Lang y trato de comprender la prueba de Rami Shakarchi de lo siguiente:
Dejar $a$ ser un entero positivo tal que $\sqrt a$es irracional. Dejar$\alpha = \sqrt a$. Demuestra que existe un número$c > 0$ tal que para todos los enteros $p, q$, con $q > 0$ tenemos $\mid q \alpha - p \mid > c/q$.
Agregué una captura de pantalla de la prueba de Shakarchi a continuación:

Mi comprensión de esta prueba es la siguiente:
La sugerencia de Lang es racionalizar $q \alpha - p$, es decir, tomar el producto $(q\alpha - p)(-q\alpha - p)$. Hacerlo rinde
$(q\alpha - p)(-q\alpha - p) = -q^2 a + p^2$
Recordar $q, a, p \in \mathbb{Z}$, con $q > 0$ y también $\sqrt a \notin \mathbb{Q}$, en particular $a \neq 0$. Luego$\mid(q\alpha - p)(-q\alpha - p)\mid \geq 1 \leftrightarrow \mid q\alpha - p\mid \geq \frac{1}{\mid -q\alpha - p\mid} = \frac{1}{\mid q\alpha + p\mid}$
Donde me caigo un poco es en la siguiente parte: elegimos $c$ tal que $0 < c < \text{min}(\mid\alpha\mid, \mid\frac{1}{3\mid\alpha\mid})$. Supongo que elegimos$c$ de esta manera para manejar el caso donde $\mid \alpha \mid < 1$ así que eso $\frac{1}{3\mid\alpha\mid} > 1$. Si ese es el caso, entonces realmente podemos elegir cualquier múltiplo positivo de$\mid \alpha \mid$ en el demoninador, es decir $\frac{1}{2\mid\alpha\mid}$ o $\frac{1}{4\mid\alpha\mid}$ funcionaría igual de bien.
Ahora, usando el resultado obtenido en $\textbf{1}$ y nuestra hipótesis, establecemos la desigualdad en $\textbf{2}$. No sé cómo se obtiene la desigualdad situada más a la izquierda; sé que por hipótesis$\mid \alpha - p/q \mid < \mid \alpha\mid$ y sumamos $\mid 2\alpha \mid$ a ambos lados para obtener la desigualdad más a la derecha.
Luego, en la desigualdad final, no me queda claro cómo sabemos que $\frac{1}{3\mid \alpha \mid q} < \frac{1}{\mid q\alpha + p \mid}$.
Estoy buscando una respuesta a estos dos puntos:
- Una explicación de los pasos que describí anteriormente como poco claros, es decir, la elección de $c$ (por qué elegimos $0 < c < \text{min}(\mid\alpha\mid, \mid\frac{1}{3\mid\alpha\mid})$), la desigualdad más a la izquierda en $\textbf{2}$, y la desigualdad media en $\textbf{3}$.
- Esta prueba fue bastante poco intuitiva para mí, ni siquiera consideré racionalizar $q \alpha - p$cuando estuve trabajando en este problema por primera vez. Me imagino que ese es el tipo de cosas que empiezas a mejorar al ver con la práctica resolver problemas como este. Aún así, ¿existe posiblemente una prueba más simple o más directa?
Respuestas
Es la desigualdad triangular
$|\alpha + \frac pq| = |2\alpha - \alpha +\frac pq| \le |2\alpha| + |-\alpha + \frac pq|=|2\alpha| + |\alpha -\frac qp| < |2\alpha| + |\alpha|=3|\alpha|$
La razón por la $3$ se eligió fue porque: Necesitamos obtener $|\alpha -\frac pq|$más grande que algo. Pero si$|\alpha-\frac pq|< |\alpha|$ no podemos obtenerlo directamente porque solo sabemos $|\alpha-\frac pq|$es más pequeño que algo. En cambio, tenemos que trabajar con$|\alpha + \frac pq|$ser más grande que algo. Pero como podemos convertir$|\alpha + \frac pq|$ a algo que involucra $|\alpha -\frac pq|$? Bueno, la forma en que lo hicieron fue$|\alpha + \frac pq| = |2\alpha - (\alpha - \frac pq)|$. Pero eso arroja dos extra$\alpha$s en las obras.
"No me queda claro cómo sabemos que$\frac{1}{3\mid \alpha \mid q} < \frac{1}{\mid q\alpha + p \mid}$"
Bueno, tienes $|\alpha + \frac pq| < 3|\alpha|$
Entonces $q|\alpha + \frac pq| < 3|\alpha|q$
$0< |q\alpha + p| < 3|\alpha|q$
$\frac 1{3|\alpha| q} < \frac 1{|q\alpha + p|}$.
La desigualdad más a la izquierda en 2 también me llevó un poco de comprensión :)
Es la desigualdad del triángulo:
$$|a|+|b| \geq |a+b| \,.$$
La desigualdad media en 3 es solo la desigualdad general de 2 .
La elección de $c$ podría ser más flexible, pero creo que usar 3 simplemente hace que todo lo anterior se cancele y funcione mejor.