Expresión de curvatura extrínseca

Aug 16 2020

En el libro de Padmanabhan, Gravitation Foundations and Frontiers, la siguiente ecuación con respecto a la curvatura extrínseca de una hipersuperficie se puede encontrar en la sección 12.2 (ver justo arriba la ecuación 12.19 en ese libro),

\begin{align} K_{\alpha\beta}=-\nabla_\alpha n_\beta=-N\Gamma^0_{\alpha\beta}. \end{align}

Según la convención del libro, los índices griegos se ejecutan para coordenadas espaciales ($\alpha=1,2,3$) y los índices latinos se ejecutan para coordenadas espacio-temporales ($a=0,1,2,3$). Por lo tanto, la ecuación anterior da una expresión para los componentes espaciales de la curvatura extrínseca,$K_{\alpha\beta}$. Aquí,$n^a$ es el campo vectorial normal a la hipersuperficie y $N$es la función de lapso. Ahora el libro afirma que si expandimos el símbolo de Christoffel, obtendremos la siguiente expresión (vea la ecuación 12.19 en el libro),

$$K_{\alpha\beta}=\frac{1}{2N}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)$$

Aquí, $N^\alpha$ es el vector de cambio, $h_{\alpha\beta}$ es la métrica espacial inducida en la hipersuperficie, y $D_m$ es la derivada covariante intrínseca en la hipersuperficie con su acción sobre los vectores puramente espaciales $X_s$, que satisface una restricción como $X_sn^s=0$, definido como

$$D_mX_s=h^a_mh^b_s\nabla_aX_b,$$

dónde, $h^a_b=\delta^a_b+n^an_b$ son el tensor de proyección en la hipersuperficie, y $\nabla_a$ es la derivada covariante habitual del espacio-tiempo.

No he podido derivar la ecuación 12.19 dando la expresión para $K_{\alpha\beta}$. A continuación muestro cómo intenté hacerlo. El símbolo de Christoffel se puede expandir como,\begin{align} \Gamma^0_{\alpha\beta}&=\frac{1}{2}g^{0a}\left(\partial_\alpha g_{\beta a}+\partial_\beta g_{\alpha a}-\partial_a g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{1}{2}g^{00}\left(\partial_\alpha g_{\beta 0}+\partial_\beta g_{\alpha 0}-\partial_0 g_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}g^{0\gamma}\left(\partial_\alpha g_{\beta \gamma}+\partial_\beta g_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(\partial_\alpha N_{\beta}+\partial_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}+2\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right) \end{align} En lo anterior, he utilizado los hechos de que, $$n_0=-N,\quad n_\alpha=0,$$ $$D_\alpha N_\beta=h^a_\alpha h^b_\beta\nabla_a N_b=\partial_\alpha N_\beta-\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma,$$ $$h_{00}=N^\gamma N_\gamma,\quad h_{0\alpha}=N_\alpha,\quad h_{\alpha\beta}=g_{\alpha\beta}$$

Respuestas

1 VacuuM Aug 22 2020 at 13:04

El cálculo del OP parece correcto. Si avanzamos en esa línea, la expresión requerida se puede lograr con bastante facilidad. Primero, noto que,$$D_\alpha N_\beta=\partial_\alpha N_\beta-{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma\neq \partial_\alpha N_\beta-{}^{(4)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma=\partial_\alpha N_\beta-\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma,$$Quizás esta sustitución es lo que resultó confuso en el cálculo de OP. Si corregimos eso, entonces sigue,\begin{align} &\frac{1}{2}g^{0a}\left(\partial_\alpha g_{\beta a}+\partial_\beta g_{\alpha a}-\partial_a g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}+2{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}\nonumber\\ &\qquad+\frac{1}{2}N^{-2}N_{\sigma}h^{\gamma\sigma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+N^{-2}N_{\sigma}{}^{(3)}\Gamma^{\sigma}_{\alpha\beta}\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right) \end{align} Por lo tanto, $$K_{\alpha\beta}=-N\Gamma^0_{\alpha\beta}=\frac{1}{2N}\left[D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right].$$

haelewiin Aug 19 2020 at 08:40
  1. La curvatura extrínseca se define en el espacio-tiempo ambiental (en lugar de en la hipersuperficie) como $n_a$: $$K_{ab} = -P_\perp{}^c{}_{a}P_\perp{}^d{}_b \nabla_c n_d,$$ con $P_\perp$el tensor de proyección en la hipersuperficie. Observe que, por construcción, la curvatura extrínseca es espacial y simétrica en sus dos índices.
  2. Usa la simetría para escribir $K_{ab}$ como un derivado de Lie:$$K_{ab} ={-\scriptsize\frac{1}{2}} P_\perp{}^c{}_{a}P_\perp{}^d{}_b \mathcal{L}_n \,g_{cd}.$$
  3. Utilice la descomposición ortogonal de la métrica y el sistema de coordenadas adaptado $t^a = Nn^a + N^a$ para que la función de lapso y el vector de desplazamiento lleguen a $$K_{ab} = {\scriptsize\frac{1}{2}}N^{-1}\mathcal{L}_{(N-t)}h_{ab}.$$

Referencias:

  • T. Thiemann, Introducción a la relatividad general cuántica canónica moderna , subsección I.1.1