fibra con un solo punto es isomorfa a la especificación de un campo

Question

Dejar $R$ y $T$sean anillos conmutativos con unidad. Dejar$Q$ ser un ideal primordial de $R$ y $\phi:R \to T$. Suponer $T \otimes_R (R_Q/Q R_Q)$tiene un solo ideal principal. Entonces me gustaría demostrar que el mapa vertical en el lado izquierdo de \ begin {array} {cc} T \ otimes_R R_Q / Q R_Q & \ leftarrow & T \\ \ uparrow & & \ uparrow \\ R_Q / Q R_Q & \ leftarrow & R \ end {array}
es un isomorfismo. ¿Cómo puedo probar esto?

Pensé que podría probar esto mostrando que dado cualquier $t \otimes r$, tenemos $t \otimes r = 1 \otimes s$ para algunos $s \in R_Q/Q R_Q$, pero esto parece funcionar solo si $t$ está en la imagen de $\phi$...

Editar. La pregunta tal como se hizo no parece ser correcta, como se puede ver en el comentario. ¿Qué suposiciones puedo agregar para que esto sea cierto? Estoy tratando de comprender los detalles de una prueba en Mumford, la fibra de$f$ terminado $y$ es $\operatorname{Spec} \kappa(y)$ dado $f^{\#}(\mathfrak{m}_y) O_{X,x} = \mathfrak{m}_x$. Gracias

Answer 1

Lema: dejar $f:X\rightarrow Y$ser un morfismo de esquemas. Entonces$f^{-1}(p) \cong X\times_{Y} \kappa(p)$ como conjuntos donde $\kappa (p)$ es el campo de residuos en $p\in Y$.

Prueba: asumir $X=\operatorname{Spec}A,Y=\operatorname{Spec}B$ son afines y $p\in \operatorname{Spec} B$. Conjunto$S=B\backslash p$. Entonces tenemos las siguientes correspondencias 1-1 $$f^{-1}(p)\leftrightarrow\{P\in \operatorname{Spec}A : P\cap B=p \}\leftrightarrow \{P \in \operatorname {Spec}A : P\supseteq pA \ , \ P \cap {B\backslash p}=\phi \} $$ $$\leftrightarrow \operatorname {Spec} \frac{S^{-1}A}{pS^{-1}A} \cong \operatorname {Spec} A\otimes_ B \frac{B_p }{pB_p}=X\times_Y \operatorname {Spec}\kappa(p) $$

Ahora usa un argumento de parcheo para completar la prueba.

Entonces estas preguntando cuando $\frac{A_p }{pA_p}$ es un campo asumiendo $\operatorname {Spec} \frac{A_p}{pA_p}$es un singleton. Dejar$P\in \operatorname {Spec} {A}$ ser el ideal primo único tal que $P\cap B\backslash p =\phi $ y $P\supset pA$. Entonces$\frac{A_p }{pA_p}$ es un campo iff $pA_p =PA_p$, es decir, el ideal máximo de $\mathcal O_{Y,p}$ genera el ideal máximo de $\mathcal O_{X,P}$ que es precisamente lo que se da en la pregunta que vinculó.