¿Formas de simplificar computacionalmente una expresión combinatoria?

Question

Tengo la siguiente expresión, $$\sum_{m=1}^{n}\sum_{k=m}^{n} (-1)^{k-m} {k\choose m} P_k$$ dónde $P_k$ es una función arbitraria que solo depende de $k$.

Ahora es fácil ver que esta expresión calculará las mismas cosas una y otra vez. ¿Existe una representación más compacta de esto que supere este problema? (No quiero una solución computacional sino una solución algebraica que refleje los ahorros en computación)

Answer 1

Peter Foreman en los comentarios es correcto. Invierta el orden de la suma y use la fórmula binomial:

$$\begin{align*} \sum_{m=1}^n\sum_{k=m}^n(-1)^{k-m}\binom{k}mP_k&=\sum_{k=1}^nP_k\sum_{m=1}^k(-1)^{k-m}\binom{k}m\\ &=\sum_{k=1}^nP_k\left(\underbrace{\sum_{m=0}^k(-1)^{k-m}\binom{k}m}_{=0}-(-1)^k\right)\\ &=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}P_k \end{align*}$$