Funciones de densidad de masa: ¿cómo hay densidad de masa en los puntos?
A menudo discutimos la densidad de masa, la densidad de carga y otras funciones similares: $\rho(x,y)$ para placas ultrafinas y $\rho(x,y,z)$para objetos 3-d. Las unidades para la salida de estas funciones dicen masa o carga / unidad de volumen como$\frac{kg}{m^3}$ o $\frac{C}{m^3}$. No puedo comprender una densidad en un solo punto.
Sospecho que cuando decimos masa por unidad de volumen "en un punto", nos referimos a la masa contenida en el volumen inmediatamente alrededor del punto. Aquí, decimos "inmediatamente alrededor" en un sentido de cálculo para que el volumen se acerque a cero. De esta forma, el conjunto de todos los puntos sigue siendo el objeto completo.
¿Es esto correcto? ¿O he perdido la marca?
Respuestas
Cuando decimos que la densidad de masa es $\rho(x,y,z)$, queremos decir que la masa dentro de cualquier región finita $R$ es dado por $$ M(R) = \int_R \rho(x,y,z)\ dx\,dy\,dz. $$ En otras palabras, especificar la densidad de masa $\rho(x,y,z)$ es una forma concisa de describir la función que toma una región $R$ como entrada y devuelve la masa $M(R)$ en esa región como salida.
La región $R$puede ser arbitrariamente pequeño, por lo que su intuición está en el camino correcto. Si tomamos$R$ser un punto , entonces la masa$M(R)$ es cero, no importa cuán grande sea la densidad de masa (siempre que sea finita).
La sustancia (que forma la masa) es discreta. Tenemos moléculas, átomos, partículas más pequeñas, etc, ...
Hay indicios de que el espacio en sí también es discreto (consulte la longitud de Planck), pero no lo sabemos con certeza.
Por otra parte, a veces (casi siempre, de hecho) es útil aproximar la sustancia como suave y homogénea en escalas lo suficientemente pequeñas y usar todo el aparato de cálculo que tenemos disponible que usa números reales.
Así es como la densidad se convierte en un campo escalar.
Básicamente, tienes razón. La masa contenida en un punto (cuando hablamos de materiales continuos) es cero.
Sin embargo, podemos tomar una pequeña cantidad de longitud, área o volumen, matemáticamente descrito como$dx$, $dA$o $dV$ acercándose a cero. Estos se denominan elementos de longitud, área o volumen. Para encontrar la masa completa, uno tiene que sumar todos los productos de todas las densidades de masa infinitamente pequeñas con los elementos de longitud, área o volumen en todos los puntos de la masa en el caso 1, 2 o 3. Esta suma se convierte en una integral de los productos de las densidades$\rho$ con los tres elementos diferentes (asumiendo $\rho$ es independiente de la posición en $x$, $A$o $V$):
$$m_{tot}=\int _x\rho dx,$$
para una masa en una línea,
$$m_{tot}=\int _A\rho dA,$$
para una masa en una superficie, y
$$m_{tot}=\int _V\rho dV,$$
para una masa en un volumen.
Si la densidad de masa depende de la posición en la masa, simplemente reemplace $\rho$ por $\rho (x)$, $\rho (A)$y $\rho (V)$.
La densidad de masa en un punto se define de dos formas:
- el límite de la densidad de masa promedio en un volumen que contiene el punto cuando el volumen disminuye a cero, y
- como un campo que se integra para dar masa.
Comprender cómo y cuándo estas dos definiciones son la misma cosa requiere algo de teoría de la medida, momento en el que se aprende cómo no son lo mismo.
Ejemplo de cómo son lo mismo. Suponga que la densidad de masa (campo) es una constante$1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$en cada punto considerado. Dejar$x$sea tal punto. Calculemos el límite de (para simplificar) las densidades medias de volumen esférico para esferas centradas en$x$. Dejar$r$ ser el radio en $\mathrm{cm}$. El volumen,$V$, y masa, $m$, son \begin{align*} V(r) &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\ m(r) &= \int_{-r}^{r} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2}} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}} 1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z \\ &= \frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \text{.} \end{align*}
(Las unidades explícitas pueden hacer que esta masa parezca una densidad. Recuerde que "$r$"en"$r^3$"tiene unidades de distancia que cancelan las unidades de distancia en el denominador de las unidades explícitas).
Entonces la densidad de masa en $x$ es $\lim_{r \rightarrow 0} \frac{\frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 1 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$. Tenga en cuenta que debemos tomar el límite como$r \rightarrow 0$. No podemos evaluar la relación de masa a volumen en$r = 0$ya que eso implica la división por cero. Ahora una gráfica de la función de la que estamos tomando un límite. De la cancelación algebraica (permisible por debajo del límite, pero no fuera de este límite), esperamos ver una función constante.
El punto $(0,1)$se omite, porque la división por cero no está definida. Para acercarse sigilosamente al valor allí, usamos un límite. Tenga en cuenta que si el campo de densidad varió (pequeñas fluctuaciones alrededor de una densidad media y / o una tendencia a densidades más altas o más bajas lejos de$x$) veríamos estas variaciones en la curva. Este modelo muy simple no tiene tales características.
Agregaré otro punto de vista, ya que la pregunta solo parece algo muy avanzado o que solo surge en esa área de la física: lo que estás preguntando es precisamente similar a la paradoja de la flecha de Zeno:https://en.wikipedia.org/wiki/Zeno's_paradoxes#Arrow_paradox
Básicamente, estoy seguro de que está familiarizado con las derivadas, pero no son intuitivas cuando se aplican a cantidades arbitrarias. Ciertamente, podemos hablar de una velocidad promedio durante una duración ∆ t , y razonar que al restringir la duración a un solo instante de tiempo, obtenemos la velocidad instantánea en un momento dado, una cantidad útil que sabemos está bien definida.
"¡Pero para tener una velocidad, necesitas viajar, y no puedes viajar si el tiempo no pasa!" Sí, es el mismo trato con no haber una densidad "instantánea" intuitiva (dm / dV) si miras un punto de masa, pero sin embargo trabajamos con derivadas y funcionan. :)