Generar intuición de funciones

Question

Estoy tratando de comprender el uso de funciones generadoras. Entendí que podemos comprimir una secuencia en una función generadora, de modo que cada coeficiente del polinomio que genera sean los elementos de la secuencia. Pero no entiendo qué cambian las entradas.

Digamos que tenemos la función generadora: $$G(x)=\sum^\infty_{k=0} p_k x^k$$

¿Qué sucede cuando le damos diferentes valores a $x$, ¿qué está cambiando intuitivamente? Pensé que el$x^k$ término estaba allí para codificar la ubicación del coeficiente en la secuencia, ya que no podemos agregar $p_ax^a$ y $p_bx^b$ Si $ a \neq b$, para que los términos sigan siendo heterogéneos. Pero vi que para una distribución de probabilidad la propiedad$G(1)=1$debe aguantar. ¿Es este el único caso en el que resulta útil dar un valor ax?

Muchas gracias de antemano por las explicaciones.

Answer 1

Si $X$ es una variable aleatoria discreta que toma valores en enteros no negativos $\{0,1, \dots\}$, entonces la función generadora de probabilidad de $X$ Se define como:

$$\color{blue}{\displaystyle G(z)=\mathbb{E} \left(z^{X}\right)=\sum_{x=0}^{\infty }p(x)\;z^{x}}$$

dónde $p$ es la función de masa de probabilidad de $X$. La elección de$z$ en vez de $x$está simplemente relacionado con la idea de que lo que estamos haciendo es una transformación z .

Note en lo que sigue que $z$ está actuando como un tendedero para colgar los valores de interés, que se recuperan después de diferenciar y evaluar en $0$ para recuperar el PMF, o en $1$por los momentos, respectivamente. Esta magia sucede gracias a que$z$ o se convierte en $0$ en toda la cola de términos (PMF), o $1.$ Pero en cualquier caso no está relacionado con la variable aleatoria y no aporta ninguna información, es el equivalente a una variable ficticia.

CARACTERISTICAS:

1. TE DA PROBABILIDADES al diferenciar:

$$\color{blue}{\large p_i = \left. \frac{1}{i!}\quad\frac{d^i \, G(z)}{dx^i} \right|_{z=0}=\frac{1}{i!} \;G^{(i)}\;(0)}$$

1. $G\,(1)=1$ porque $$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty p_i \; 1^i=1$$

2. Primer diferencial

$$G^{(1)}(z) =\frac{d}{dz}\mathbb E\left[z^X\right]=\mathbb E\left[X\,z^{X-1}\right]$$

1. El primer diferencial evaluado en $1$ te da la media: $$G^{(1)}(1) =\left.\mathbb E\left[X\,z^{X-1}\right]\right|_{z=1}=\mathbb E\left[X\quad1^{X-1}\right]= \mathbb E[X].$$

2. La segunda derivada evaluada en $1$ es el momento factorial, y NO es la varianza, porque el segundo término no se eleva al cuadrado.

$$\begin{align}G^{(2)}\;(1) &=\frac{d^2}{dz^2}\; \left.\mathbb E\left[z^X\right]\right|_{z=1}\\[2ex]&=\mathbb E\left[X\;(X-1)\;z^{X-2}\right]\\[2ex]&=\mathbb E\left[X\;(X-1)\right]\\[2ex]&=\mathbb E\left [X^2-X\right ]\\[2ex]&=\mathbb E\left[X^2\right] - \mathbb E\left[X\right]\end{align}$$

1. Generalizando, entonces, la $i$-ésima derivada evaluada en $1$ es el $i$-ésimo momento factorial:

$$G^{(i)}\;(1)= \mathbb E\left[X\;(X-1)\;\cdots\;(X-i+1)\right]$$

1. Para obtener la varianza,

$$\begin{align}\sigma^2 &= \mathbb E\left[X^2\right]-\mathbb E\left[X\right]^2 \\[2ex] &=G^{(2)}\;(1)+G^{(1)}\;(1)-\left[G^{(1)}\;(1)\right]^2 \end{align}$$

1. Podemos obtener momentos crudos diferenciando el pgf y multiplicándolo por $z$:

$$\mathbb E\left[X^i\right]= \left. \left( z\;\left(\frac{d}{dz}\right)^i \; G(z)\right)\right|_{z=1}$$